Persamaan kuadrat adalah salah satu materi penting dalam matematika kelas 10. Materi ini sering digunakan untuk menentukan nilai suatu variabel, mencari titik potong grafik, dan menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan dengan bentuk kuadrat.

Pada artikel ini, kita akan membahas persamaan kuadrat dengan cara yang sederhana, mulai dari pengertian, bentuk umum, cara mencari akar-akar, rumus ABC, contoh soal, hingga latihan.

Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi variabelnya adalah 2.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

ax² + bx + c = 0

dengan ketentuan:

– a, b, dan c adalah bilangan real.
– a ≠ 0.
– x adalah variabel atau nilai yang ingin dicari.

Mengapa nilai a tidak boleh sama dengan 0? Jika a = 0, suku ax² akan hilang sehingga persamaannya berubah menjadi persamaan linear.

Contoh persamaan kuadrat

– x² + 5x + 6 = 0
– 2x² – 7x + 3 = 0
– 4x² – 16 = 0

Contoh yang bukan persamaan kuadrat

– 3x + 5 = 0 – persamaan linear.
– x³ – 2x + 1 = 0 – persamaan kubik karena pangkat tertingginya 3.
– 5x² + 2x = 0 – tetap persamaan kuadrat karena koefisien x² tidak sama dengan 0.

Bagian-Bagian Persamaan Kuadrat

Pada persamaan:

3x² – 8x + 4 = 0

kita dapat menentukan:

– a = 3
– b = -8
– c = 4

Perhatikan tanda bilangan dengan teliti. Koefisien b adalah -8, bukan 8.

Apa yang Dimaksud dengan Akar-Akar Persamaan Kuadrat?

Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai x yang membuat persamaan tersebut bernilai benar atau sama dengan nol.

Misalnya:

x² – 5x + 6 = 0

Jika x = 2:

2² – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0

Jadi, x = 2 merupakan salah satu akar persamaan tersebut.

Cara 1: Faktorisasi

Faktorisasi adalah cara mengubah bentuk persamaan menjadi perkalian dua bentuk yang lebih sederhana.

Contoh soal 1

Tentukan akar-akar persamaan berikut:

x² – 5x + 6 = 0

Pembahasan

Kita mencari dua bilangan yang:

– Jika dikalikan hasilnya 6.
– Jika dijumlahkan hasilnya -5.

Bilangan tersebut adalah -2 dan -3.

Maka:

x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Karena hasil perkaliannya sama dengan nol, salah satu faktornya harus bernilai nol:

x – 2 = 0 atau x – 3 = 0

Jadi:

– x = 2
– x = 3

Kesimpulan: akar-akarnya adalah x₁ = 2 dan x₂ = 3.

Contoh soal 2

Tentukan akar-akar persamaan:

x² + 7x + 12 = 0

Kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya 12 dan jumlahnya 7. Bilangan tersebut adalah 3 dan 4.

x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

Maka:

– x + 3 = 0 → x = -3
– x + 4 = 0 → x = -4

Jadi, akar-akarnya adalah x₁ = -3 dan x₂ = -4.

Cara 2: Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Cara ini dilakukan dengan mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, misalnya:

(x + p)² = q

Metode ini berguna untuk memahami asal rumus kuadrat, tetapi dalam soal sehari-hari sering kali faktorisasi atau rumus ABC lebih praktis.

Cara 3: Rumus ABC

Rumus ABC dapat digunakan untuk mencari akar-akar semua persamaan kuadrat, terutama jika persamaannya sulit difaktorkan.

Untuk persamaan:

ax² + bx + c = 0

rumus ABC adalah:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

Tanda ± berarti kita menghitung dua kemungkinan:

– Menggunakan tanda tambah.
– Menggunakan tanda kurang.

Contoh soal 3

Tentukan akar-akar persamaan berikut dengan rumus ABC:

2x² – 5x – 3 = 0

Langkah 1: Tentukan nilai a, b, dan c

– a = 2
– b = -5
– c = -3

Langkah 2: Masukkan ke rumus ABC

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

x = (-(-5) ± √((-5)² – 4(2)(-3))) / 4

x = (5 ± √(25 + 24)) / 4

x = (5 ± √49) / 4

x = (5 ± 7) / 4

Langkah 3: Hitung dua nilai x

Dengan tanda tambah:

x₁ = (5 + 7) / 4 = 12 / 4 = 3

Dengan tanda kurang:

x₂ = (5 – 7) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Kesimpulan: akar-akarnya adalah x₁ = 3 dan x₂ = -1/2.

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Bagian:

D = b² – 4ac

disebut diskriminan. Diskriminan digunakan untuk mengetahui jenis akar persamaan kuadrat.

| Nilai diskriminan | Jenis akar |
|—|—|
| D > 0 | Dua akar real berbeda |
| D = 0 | Dua akar real yang sama atau akar kembar |
| D < 0 | Tidak memiliki akar real | Contoh singkat Pada persamaan x² – 5x + 6 = 0: – a = 1 – b = -5 – c = 6 D = (-5)² – 4(1)(6) D = 25 – 24 = 1 Karena D > 0, persamaan tersebut memiliki dua akar real yang berbeda.

Hubungan Akar-Akar dengan Koefisien

Jika akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah x₁ dan x₂, maka berlaku:

x₁ + x₂ = -b/a

x₁ × x₂ = c/a

Contoh

Persamaan:

2x² – 7x + 3 = 0

Jumlah akar-akarnya:

x₁ + x₂ = -(-7) / 2 = 7/2

Hasil kali akar-akarnya:

x₁ × x₂ = 3/2

Rumus ini dapat digunakan untuk memeriksa jawaban atau mencari hubungan antarakar tanpa menghitung semuanya dari awal.

Kesalahan yang Sering Terjadi

1. Lupa bahwa b bisa bernilai negatif.Pada 2x² – 5x + 3 = 0, nilai b adalah -5.
2. Salah menulis penyebut rumus ABC. Penyebutnya adalah 2a, bukan 2.
3. Salah menghitung diskriminan. Perhatikan tanda negatif pada b dan c.
4. Menganggap semua persamaan harus difaktorkan. Jika faktorisasi sulit, gunakan rumus ABC.
5. Tidak memeriksa jawaban. Substitusikan kembali nilai x ke persamaan awal untuk memastikan hasilnya benar.

 Ringkasan Persamaan Kuadrat

– Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0.
– Nilai a tidak boleh sama dengan 0.
– Akar-akar adalah nilai x yang membuat persamaan bernilai 0.
– Faktorisasi cocok digunakan jika bentuk persamaan mudah diuraikan.
– Rumus ABC dapat digunakan pada semua persamaan kuadrat.
– Diskriminan adalah D = b² – 4ac.
– Jika D > 0, terdapat dua akar real berbeda.
– Jika D = 0, terdapat akar kembar.
– Jika D < 0, tidak terdapat akar real.  Latihan Soal Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan terlebih dahulu. 1. Tentukan akar-akar persamaan x² – 9x + 20 = 0. 2. Tentukan akar-akar persamaan x² + 2x – 15 = 0. 3. Tentukan akar-akar persamaan 2x² + x – 6 = 0 dengan rumus ABC. 4. Tentukan jenis akar persamaan 3x² – 6x + 3 = 0 berdasarkan diskriminannya. 5. Jika salah satu akar persamaan x² – 8x + k = 0 adalah 2, tentukan nilai k dan akar lainnya. ### Kunci jawaban singkat 1. x = 4 dan x = 5. 2. x = 3 dan x = -5. 3. x = 3/2 dan x = -2. 4. D = 0, sehingga memiliki akar kembar. 5. k = 12 dan akar lainnya adalah 6.

Penutup : Persamaan kuadrat akan terasa lebih mudah jika langkah pengerjaannya dilakukan secara teratur. Mulailah dengan menentukan nilai a, b, dan c, lalu pilih metode yang paling sesuai: faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus ABC. Setelah memahami materi ini, lanjutkan dengan latihan soal persamaan kuadrat agar kemampuan menghitung dan mengenali pola semakin kuat. Sudah memahami konsepnya? Kerjakan kembali lima latihan di atas tanpa melihat kunci jawaban.