Teorema Ortogonalitas sebuah vektor
Misalkan vektor a dan vektor b keduanya bukan vektor nol. Vektor a tegak lurus atau ortogonal terhadap vektor b jika dan hanya jika a.b = 0.
Teorema ortogonalitas banyak digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan dua buah vektor yang saling tegak lurus (baik vektor – vektor di bidang maupun vektor – vektor di ruang). Seperti dicontohkan dalam contoh berikut ini:
Contoh 1#:
Also Read:
Diketahui vektor $latex \vec{a}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$ dan vektor $latex \vec{b}=\begin{pmatrix}3\\m\end{pmatrix}$, serta vektor a ortogonal terhadap vektor b, hitunglah nilai m yang mungkin!.
Jawab:
a.b = (4).(3) + (6).(m) = 12 + 6m
karena vektor a tegak lurus dengan vektor b, maka berdasarkan teorema ortogonalitas, maka haruslah a.b = 0.
12 + 6m = 0
6m = -12
m = -2
jadi, vektor a tegak lurus dengan vektor b untuk nilai m = -2.
Contoh 2#;
Diketahui vektor $latex \vec{u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ dan vektor $latex \vec{v}=\begin{pmatrix}4\\10\-8\end{pmatrix}$. Vektor a = u + kv dan vektor a tegak lurus pada vektor u. tentukanlah nilai k yang mungkin.
Jawab:
Pertama, kita tentukan dulu besaran dari vektor a, yaitu:
a = u + kv
$latex \vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}4\\10\\-8\end{pmatrix}$
$latex \vec{a}=\begin{pmatrix}2+4k\\-1+10k\\2-8k\end{pmatrix}$
Vektor a tegak lurus dengan vektor u berarti:
a.u = 0
( 2 + 4k) . 2 + (-1 + 10k). -1 + (2 – 8k).2 = 0
4 + 8k + 1 – 10k + 4 – 16k = 0
-18k + 9 = 0
k = ½
jadi, nilai k yang mungkin adalah ½ .
