Teorema Ortogonalitas sebuah vektor

Misalkan vektor a dan vektor b keduanya bukan vektor nol. Vektor a tegak lurus atau ortogonal terhadap vektor b jika dan hanya jika a.b = 0.

Teorema ortogonalitas banyak digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan dua buah vektor yang saling tegak lurus (baik vektor – vektor di bidang maupun vektor – vektor di ruang). Seperti dicontohkan dalam contoh berikut ini:

Contoh 1#:

Diketahui vektor dan vektor , serta vektor a ortogonal terhadap vektor b, hitunglah nilai m yang mungkin!.

Jawab:

a.b = (4).(3) + (6).(m) = 12 + 6m

karena vektor a tegak lurus dengan vektor b, maka berdasarkan teorema ortogonalitas, maka haruslah a.b = 0.

12 + 6m = 0

6m = -12

m = -2

jadi, vektor a tegak lurus dengan vektor b untuk nilai m = -2.

Contoh 2#;

Diketahui vektor dan vektor . Vektor a = u + kv dan vektor a tegak lurus pada vektor u. tentukanlah nilai k yang mungkin.

Jawab:

Pertama, kita tentukan dulu besaran dari vektor a, yaitu:

a = u + kv

Vektor a tegak lurus dengan vektor u berarti:

a.u = 0

( 2 + 4k) . 2 + (-1 + 10k). -1 + (2 – 8k).2 = 0

4 + 8k + 1 – 10k + 4 – 16k = 0

-18k + 9 = 0

k = ½

jadi, nilai k yang mungkin adalah ½ .