Rumus untuk sin 2A
Dengan menggunakan rumus sin (A + B) dan jika kita misalkan B = A, maka kita dapat menentukan rumus untuk sin (A + A) = sin 2A.
Sin 2A = sin (A + A)
Sin 2A = sin A cos A + cos A sin A
Sin 2A = 2 sin A cos A
Jadi, dengan demikian kita memperoleh rumus untuk sin 2A
sin 2A = 2 sin A Cos A
Rumus untuk cos 2A
Dengan menggunakan rumus cos (A + B) dan jika kita misalkan B = A, maka kita dapat menentukan rumus untuk cos (A + A) = cos 2A.
cos 2A = cos (A + A)
cos 2A = cos A cos A – sin A sin A
cos 2A = cos2 A – sin2 A
dengan mengingat bahwa cos2 A + sin2 A = 1, maka dapat diperoleh :
cos 2A = cos2 A – sin2 A
cos 2A = cos2 A – (1 – cos2 A )
cos 2A = cos 2 A + cos2 A – 1
cos 2A = 2 cos2 A – 1
atau bisa juga kita nyatakan dalam bentuk sin A
cos 2A = (1 – sin2 A) – sin2 A
cos 2A = 1 – 2 sin2 A
dengan demikian nilai sin 2A bisa kita nyatakan ke dalam beberapa rumus, yaitu:
cos 2A = cos2 A – sin2 A
cos 2A = 2 cos2 A – 1
cos 2A = 1 – 2sin2 A
Rumus untuk tan A
Dengan menggunakan rumus tan (A + B) dan jika kita misalkan B = A kita dapat menentukan rumus untuk tan (A + A) = tan 2A
$\tan 2A=\tan (A+A)$
$\tan 2A=\frac{\tan A+\tan A}{1-\tan A\tan B}$
$\tan 2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^2A}$
Contoh :
Diketahui $\sin \alpha =\frac{4}{5}$, $\alpha$ sudut lancip. Hitunglah $\sin 2\alpha ,\cos 2\alpha ,\text{dan }\tan 2\alpha$
Jawab:
Dari $\sin \alpha =\frac{4}{5}$, diperoleh $\cos \alpha =\frac{3}{5}$, dan $\tan \alpha =\frac{4}{3}$, sehingga diperoleh:
$\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha=2\left ( \frac{4}{5} \right )\left ( \frac{3}{5} \right )=\frac{24}{25}$
$\cos 2\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =1-2\left ( \frac{4}{5} \right )^{2}=-\frac{7}{25}$
$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha}{1-\tan ^2\alpha}=\frac{2\left ( \frac{4}{3} \right )}{1-\left ( \frac{4}{3} \right )^2}=-\frac{24}{7}$
[…] Rumus trigonometri untuk sudut ganda […]