Rumus untuk sin 2A

Dengan menggunakan rumus sin (A + B) dan jika kita misalkan B = A, maka kita dapat menentukan rumus untuk sin (A + A) = sin 2A.

Sin 2A = sin (A + A)

Sin 2A = sin A cos A + cos A sin A

Sin 2A = 2 sin A cos A

Jadi, dengan demikian kita memperoleh rumus untuk sin 2A

sin 2A = 2 sin A Cos A

Rumus untuk cos 2A

Dengan menggunakan rumus cos (A + B) dan jika kita misalkan B = A, maka kita dapat menentukan rumus untuk cos (A + A) = cos 2A.

cos 2A = cos (A + A)

cos 2A = cos A cos A – sin A sin A

cos 2A = cos² A – sin² A

dengan mengingat bahwa cos² A + sin² A = 1, maka dapat diperoleh :

cos 2A = cos² A – sin² A

cos 2A = cos² A – (1 – cos² A )

cos 2A = cos ² A + cos² A – 1

cos 2A = 2 cos² A – 1

atau bisa juga kita nyatakan dalam bentuk sin A

cos 2A = (1 – sin² A) – sin² A

cos 2A = 1 – 2 sin² A

dengan demikian nilai sin 2A bisa kita nyatakan ke dalam beberapa rumus, yaitu:
cos 2A = cos² A – sin² A

cos 2A = 2 cos² A – 1

cos 2A = 1 – 2sin² A

Rumus untuk tan A

Dengan menggunakan rumus tan (A + B) dan jika kita misalkan B = A kita dapat menentukan rumus untuk tan (A + A) = tan 2A

$\tan 2A=\tan (A+A)$

$\tan 2A=\frac{\tan A+\tan A}{1-\tan A\tan B}$

$\tan 2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^2A}$

Contoh :

Diketahui $\sin \alpha =\frac{4}{5}$, $\alpha$ sudut lancip. Hitunglah $\sin 2\alpha ,\cos 2\alpha ,\text{dan }\tan 2\alpha$

Jawab:

Dari $\sin \alpha =\frac{4}{5}$, diperoleh $\cos \alpha =\frac{3}{5}$, dan $\tan \alpha =\frac{4}{3}$, sehingga diperoleh:

$\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha=2\left ( \frac{4}{5} \right )\left ( \frac{3}{5} \right )=\frac{24}{25}$

$\cos 2\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =1-2\left ( \frac{4}{5} \right )^{2}=-\frac{7}{25}$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha}{1-\tan ^2\alpha}=\frac{2\left ( \frac{4}{3} \right )}{1-\left ( \frac{4}{3} \right )^2}=-\frac{24}{7}$