Rumus Pembagian ruas garis dalam vektor

Pembagian Ruas Garis dalam dalam vektor

Misalkan terdapat titik C yang terletak pada ruas garis AB sehingga titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n seperti pada gambar di bawah ini!.

Dengan demikian akan diperoleh hubungan :

AC : CB = m : n atau AC : AB = m : (m + n)

Sekarang yang menjadi pertanyaan, bagaimanakah tanda untuk m dan n ?. tanda – tanda untuk m dan n ditentukan dengan aturan sebagai berikut:

• Jika titik C terletak di ruas garis AB (seperti pada gambar diatas), maka vektor AC dan vektor CB searah. Dalam hal demikian, m dan n bertanda sama (m dan n keduanya positif atau m dan n keduanya negatif).
• Jika titik C terletak pada perpanjangan ruas garis AB, maka vektor AC dan vektor CB berlawanan arah (perhatikan gambar di bawah bagian (a) dan bagian (b)). Dalam hal demikian, m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau m negatif dan n positif).

Rumus perbandingan vektor

Jika vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b. titik C terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n, dan vektor posisi titik C dinyatakan dengan vektor c. masalahnya adalah bagaimanakah menyatakan vektor c dalam vektor a, vektor b, serta nilai m dan nilai n.

Berdasarkan hubungan AC : CB = m : n, maka diperoleh n.AC = m.CB. oleh karena ruas garis berarah AC searah dengan ruas garis berarah CB, maka persamaan itu dapat dituliskan dalam bentuk persamaan vektor sebagai berikut:

$latex n.\vec{AC}=m.\vec{CB}$

$latex n.(\vec{c}-\vec{a})=m(\vec{b}-\vec{c})$

Ingat, $latex \vec{AC}=\vec{c}-\vec{a}$ dan $latex \vec{CB}=\vec{b}-\vec{c}$

$latex n\vec{c}-n\vec{a}=m\vec{b}-m\vec{c}$

$latex n\vec{c}+m\vec{c}=m\vec{b}+n\vec{a}$

$latex (m+n)\vec{c}=m\vec{b}+n\vec{a}$

$latex \vec{c}=\frac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n}$

Jadi, jika vektor –vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b. titik C terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB = m : n, maka vektor posisi C adalah c ditentukan dengan rumus :

$latex \vec{c}=\frac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n}$