Persamaan Lingkaran

IRISAN KERUCUT

Pengertian Irisan kerucut

1. Definisi Irisan Kerucut

Also Read:

• Soal dan pembahasan lengkap persamaan parabola
• Hasil kali skalar dua vektor
• Tumbukan Lenting Sempurna

Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh dengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu.

2. Macam – Macam Irisan Kerucut

Berdasarkan letak bidang datar yang mengirisnya, maka irisan kerucut dapat berupa titik, garis, segitiga, lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.

• Jika bidang yang mengiris melalui puncak kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa titik.
• Jika bidang yang mengiris berimpit dengan garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa sebuah garis.
• Jika bidang yang mengiris melalui sumbu simetri kerucut dan tegak lurus lingkaran alas, maka irisan terbentuk berupa segitiga.
• Jika bidang yang mengiris tegak lurus sumbu simetri kerucut, tetapi tidak melalui puncak, maka irisan yang terbentuk berupa lingkaran.
• Jika bidang yang mengiris sejajar garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa parabla.
• Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, tidak memotong lingkaran alas, tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa elips.
• Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, memotong lingkaran alas, dan tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut maka irisannya berbentuk hiperbola.

Pengertian lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran.

Menentukan Persamaan Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r

Perhatikan gambar di bawah ini !

Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun di luar limgkaran.

1. Jika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku x² + y² = r².
2. Jika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku x² + y² < r².
3. Jika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku x² + y² > r².

Contoh:

1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !

Jawab:

x² + y² = r²

x² + y² = 5²

x² + y² = 25

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang memenuhi persamaan x² + y² = 5 !

Jawab:

Pusat lingkaran x² + y² = 5 adalah (0,0). Jari-jari r² = 5 berarti r = .

3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada pangkal koordinat dan melalui titik (5,12) !

Jawab:

Titik (5, 12) terletak pada lingkaran, berarti :

5² + 12² = r²

25 + 144= r²

r² = 169

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pangkal dan melalui titik (5, 12) adalah x² + y² = 169.

4. Tentukah apakah titik P(2, 5) terletak pada, di dalam, atau di luar lingkaran x² + y² = 81 !

Jawab:

x² + y² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29

Sedangkan r² = 81, maka : x² + y² < r² atau 29 < 81.

Jadi, titik P(2, 5) terletak di dalam lingkaran x² + y² = 81.

2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r

 

 

Contoh:

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan berjari-jari r = 7 !

Jawab:

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – 3)² + (y – 6)² = 7²

(x – a)² + (y – b)² = 49

2. Suatu lingkaran yang berpusat di titik (-2, 1) melalui titik (4, 9). Tentukan persamaan lingkarannya !

Jawab:

Jarak kedua titik merupakan jari-jari, maka :

(4 + 2)² + (9 – 1)² = r²

6² + 8² = r²

r² = 100

Persamaan lingkarannya :

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x + 2)² + (y – 1)² = 100

3. Tentukah apakah titik (3, 4) terletak pada, di dalam , atau di luar lingkaran yang mempunyai persamaan (x – 2)² + (y – 1)² = 36 ?

Jawab:

(x – a)² + (y – b)² = (3 – 2)² + (4 – 1)²

= 1² + 3²

= 10

r² = 36

10 < 36 atau (x – 2)² + (y – 1)² < r²

Jadi, titik (3, 4) terletak di dalam lingkaran (x – 2)² + (y – 1)² = 36.

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² kita jabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, maka kita peroleh bentuk sebagai berikut :

(x – a)² + (y – b)² = r²

x ² – 2ax + a² + y ² – 2by + b² = r²

x ² + y ² – 2ax – 2by + a² + b² = r²

x ² + y ² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

atau ditulis :

Contoh:

1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x ² + y ² + 6x + 4y – 3 = 0 !

Jawab:

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x ² + 3y ² – 4x + 8y – 1 = 0 !

Jawab:

3x ² + 3y ² – 4x + 8y – 1 = 0

D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Pada Lingkaran dengan Pusat (0,0)

Jika diketahui titik P(x₁,y₁) terletak pada lingkaran x² + y² = r² maka persamaaan garis singgung di titik P(x₁,y₁) adalah :

Contoh:

Sebuah lingkaran dengan persamaan x² + y² = 25. Titik (3, 4) pada lingkaran itu. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (3, 4) !

Jawab:

x_1. x + y_1. y = r²

3x + 4y = 25

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Di Luar Lingkaran

Persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran O(0, 0) adalah :

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus dengan garis 4x – 3y – 5 = 0 !

Jawab:

Untuk x² + y² = 25, maka r = 5

3. Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran dengan Pusat (a,b) dan bergradien m

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a,b) dan bergradien m dirumuskan sebagai berikut :

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (2,1) pada lingkaran x² + y² +2x –4y –5 = 0!

Jawab:

Pusat lingkaran x² + y² + 2x – 4y – 5 = 0 adalah P(-1, 2) dan jari-jari , maka persamaan garis singgungnya :

(x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

(2 + 1)(x + 1) + (1 – 2)(y – 2) = 10

3(x + 1) – 1(y – 2) = 10

3x + 3 – y + 2 = 10

3x – y = 5

E. Persamaan Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam

1. Garis Singgung Persekutuan Luar (S_l)

 

 

 

Contoh:

Diketahui lingkaran yang berpusat di P berjari-jari 4 cm dan lingkaran yang berpusat di Q berjari-jari 2 cm. PQ = 10 cm.

Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya !

Jawab:

 

 

 

 

 

 

1. Garis Singgung Persekutuan Dalam (S_d)

 

Contoh:

Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 2 cm, lingkaran lain dengan pusat P dan jari-jari 1 cm, OP = 5 cm.

Hitung panjang garis singgung sekutu dalamnya !

Jawab:

 

LATIHAN

1. Tentukan persamaan lingkaran dengan :

a. Pusat lingkaran (0, 0) , jari-jari = 6

b. Pusat lingkaran (4, 0), jari-jari = 16

2. Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui :

a. Pusat lingkaran (0, 0), melalui (-3, 4)

b. Pusat lingkaran (-3, 1), melalui (-9, 1)

3. Tentukan puat dan jari-jari lingkaran berikut ini !

a. 3x² + 3y² = 6

b. (x – 1)² + (y + 8)² = 9

4. Tentukan puat dan jari-jari lingkaran berikut ini !

a. x² + y² + 2x + 6y – 15 = 0

b. 4x² + 4y² – 16x + 8y + 11 = 0

5. Tentukan letak titik (2, 3), (1, 2), dan (,2) terhadap lingkaran x² + y² = 6 !

6. Tentukan letak titik (2, 3), (4, -6), dan (-2, 0) terhadap lingkaran (x – 7)² + (y – 2)² = 50 !

7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 5) dan menyinggung sumbu X !

8. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik (3, 4) !

9. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x² + y² = 4 yang bergradien 3 !

10. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 melalui titik (5, 1) !

11. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 4x – 3y – 25 = 0!

12. Jarak kedua pusat lingkaran 13 cm, jari-jari lingkaraan itu 6 cm dan 1 cm.

a. Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya.

b. Tentukan panjang garis singgung sekutu dalamnya.