IRISAN KERUCUT
Pengertian Irisan kerucut
1. Definisi Irisan Kerucut
Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh dengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu.
2. Macam – Macam Irisan Kerucut
Berdasarkan letak bidang datar yang mengirisnya, maka irisan kerucut dapat berupa titik, garis, segitiga, lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.
- Jika bidang yang mengiris melalui puncak kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa titik.
- Jika bidang yang mengiris berimpit dengan garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa sebuah garis.
- Jika bidang yang mengiris melalui sumbu simetri kerucut dan tegak lurus lingkaran alas, maka irisan terbentuk berupa segitiga.
- Jika bidang yang mengiris tegak lurus sumbu simetri kerucut, tetapi tidak melalui puncak, maka irisan yang terbentuk berupa lingkaran.
- Jika bidang yang mengiris sejajar garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa parabla.
- Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, tidak memotong lingkaran alas, tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa elips.
- Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, memotong lingkaran alas, dan tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut maka irisannya berbentuk hiperbola.
Pengertian lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran.
Menentukan Persamaan Lingkaran
1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r
Perhatikan gambar di bawah ini !
Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun di luar limgkaran.
- Jika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku x2 + y2 = r2.
- Jika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku x2 + y2 < r2.
- Jika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku x2 + y2 > r2.
Contoh:
- Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !
Jawab:
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 52
x2 + y2 = 25
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang memenuhi persamaan x2 + y2 = 5 !
Jawab:
Pusat lingkaran x2 + y2 = 5 adalah (0,0). Jari-jari r2 = 5 berarti r = $latex \sqrt{5}$.
3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada pangkal koordinat dan melalui titik (5,12) !
Jawab:
Titik (5, 12) terletak pada lingkaran, berarti :
52 + 122 = r2
25 + 144= r2
r2 = 169
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pangkal dan melalui titik (5, 12) adalah x2 + y2 = 169.
4. Tentukah apakah titik P(2, 5) terletak pada, di dalam, atau di luar lingkaran x2 + y2 = 81 !
Jawab:
x2 + y2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29
Sedangkan r2 = 81, maka : x2 + y2 < r2 atau 29 < 81.
Jadi, titik P(2, 5) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 = 81.
2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r
Contoh:
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan berjari-jari r = 7 !
Jawab:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 3)2 + (y – 6)2 = 72
(x – a)2 + (y – b)2 = 49
2. Suatu lingkaran yang berpusat di titik (-2, 1) melalui titik (4, 9). Tentukan persamaan lingkarannya !
Jawab:
Jarak kedua titik merupakan jari-jari, maka :
(4 + 2)2 + (9 – 1)2 = r2
62 + 82 = r2
r2 = 100
Persamaan lingkarannya :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x + 2)2 + (y – 1)2 = 100
3. Tentukah apakah titik (3, 4) terletak pada, di dalam , atau di luar lingkaran yang mempunyai persamaan (x – 2)2 + (y – 1)2 = 36 ?
Jawab:
(x – a)2 + (y – b)2 = (3 – 2)2 + (4 – 1)2
= 12 + 32
= 10
r2 = 36
10 < 36 atau (x – 2)2 + (y – 1)2 < r2
Jadi, titik (3, 4) terletak di dalam lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 36.
3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 kita jabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, maka kita peroleh bentuk sebagai berikut :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x 2 – 2ax + a2 + y 2 – 2by + b2 = r2
x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2
x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
atau ditulis :
Contoh:
- Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + 6x + 4y – 3 = 0 !
Jawab:
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x 2 + 3y 2 – 4x + 8y – 1 = 0 !
Jawab:
3x 2 + 3y 2 – 4x + 8y – 1 = 0
D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Pada Lingkaran dengan Pusat (0,0)
Jika diketahui titik P(x1,y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2 maka persamaaan garis singgung di titik P(x1,y1) adalah :
Contoh:
Sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 25. Titik (3, 4) pada lingkaran itu. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (3, 4) !
Jawab:
x1. x + y1. y = r2
3x + 4y = 25
2. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Di Luar Lingkaran
Persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran O(0, 0) adalah :
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus dengan garis 4x – 3y – 5 = 0 !
Jawab:
Untuk x2 + y2 = 25, maka r = 5
3. Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran dengan Pusat (a,b) dan bergradien m
Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a,b) dan bergradien m dirumuskan sebagai berikut :
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (2,1) pada lingkaran x2 + y2 +2x –4y –5 = 0!
Jawab:
Pusat lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0 adalah P(-1, 2) dan jari-jari $latex \sqrt{10}$, maka persamaan garis singgungnya :
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
(2 + 1)(x + 1) + (1 – 2)(y – 2) = 10
3(x + 1) – 1(y – 2) = 10
3x + 3 – y + 2 = 10
3x – y = 5
E. Persamaan Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam
- Garis Singgung Persekutuan Luar (Sl)
Contoh:
Diketahui lingkaran yang berpusat di P berjari-jari 4 cm dan lingkaran yang berpusat di Q berjari-jari 2 cm. PQ = 10 cm.
Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya !
Jawab:
- Garis Singgung Persekutuan Dalam (Sd)
Contoh:
Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 2 cm, lingkaran lain dengan pusat P dan jari-jari 1 cm, OP = 5 cm.
Hitung panjang garis singgung sekutu dalamnya !
Jawab:
LATIHAN
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan :
a. Pusat lingkaran (0, 0) , jari-jari = 6
b. Pusat lingkaran (4, 0), jari-jari = 16
2. Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui :
a. Pusat lingkaran (0, 0), melalui (-3, 4)
b. Pusat lingkaran (-3, 1), melalui (-9, 1)
3. Tentukan puat dan jari-jari lingkaran berikut ini !
a. 3x2 + 3y2 = 6
b. (x – 1)2 + (y + 8)2 = 9
4. Tentukan puat dan jari-jari lingkaran berikut ini !
a. x2 + y2 + 2x + 6y – 15 = 0
b. 4x2 + 4y2 – 16x + 8y + 11 = 0
5. Tentukan letak titik (2, 3), (1, 2), dan ($latex \sqrt{2}$,2) terhadap lingkaran x2 + y2 = 6 !
6. Tentukan letak titik (2, 3), (4, -6), dan (-2, 0) terhadap lingkaran (x – 7)2 + (y – 2)2 = 50 !
7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 5) dan menyinggung sumbu X !
8. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (3, 4) !
9. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 yang bergradien 3 !
10. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 melalui titik (5, 1) !
11. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus garis 4x – 3y – 25 = 0!
12. Jarak kedua pusat lingkaran 13 cm, jari-jari lingkaraan itu 6 cm dan 1 cm.
a. Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya.
b. Tentukan panjang garis singgung sekutu dalamnya.