Persamaan Lingkaran

IRISAN KERUCUT

Pengertian Irisan kerucut

1. Definisi Irisan Kerucut

Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh dengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu.

2. Macam – Macam Irisan Kerucut

Berdasarkan letak bidang datar yang mengirisnya, maka irisan kerucut dapat berupa titik, garis, segitiga, lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.

• Jika bidang yang mengiris melalui puncak kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa titik.
• Jika bidang yang mengiris berimpit dengan garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa sebuah garis.
• Jika bidang yang mengiris melalui sumbu simetri kerucut dan tegak lurus lingkaran alas, maka irisan terbentuk berupa segitiga.
• Jika bidang yang mengiris tegak lurus sumbu simetri kerucut, tetapi tidak melalui puncak, maka irisan yang terbentuk berupa lingkaran.
• Jika bidang yang mengiris sejajar garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa parabla.
• Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, tidak memotong lingkaran alas, tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa elips.
• Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, memotong lingkaran alas, dan tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut maka irisannya berbentuk hiperbola.

Pengertian lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran.

Menentukan Persamaan Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r

Perhatikan gambar di bawah ini !

Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun di luar limgkaran.

1. Jika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku x² + y² = r².
2. Jika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku x² + y² < r².
3. Jika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku x² + y² > r².

Contoh:

1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !

Jawab:

x² + y² = r²

x² + y² = 5²

x² + y² = 25

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang memenuhi persamaan x² + y² = 5 !

Jawab:

Pusat lingkaran x² + y² = 5 adalah (0,0). Jari-jari r² = 5 berarti r = $latex \sqrt{5}$.

3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada pangkal koordinat dan melalui titik (5,12) !

Jawab:

Titik (5, 12) terletak pada lingkaran, berarti :

5² + 12² = r²

25 + 144= r²

r² = 169

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pangkal dan melalui titik (5, 12) adalah x² + y² = 169.

4. Tentukah apakah titik P(2, 5) terletak pada, di dalam, atau di luar lingkaran x² + y² = 81 !

Jawab:

x² + y² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29

Sedangkan r² = 81, maka : x² + y² < r² atau 29 < 81.

Jadi, titik P(2, 5) terletak di dalam lingkaran x² + y² = 81.

2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r

 

 

Contoh:

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan berjari-jari r = 7 !

Jawab:

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – 3)² + (y – 6)² = 7²

(x – a)² + (y – b)² = 49

2. Suatu lingkaran yang berpusat di titik (-2, 1) melalui titik (4, 9). Tentukan persamaan lingkarannya !

Jawab:

Jarak kedua titik merupakan jari-jari, maka :

(4 + 2)² + (9 – 1)² = r²

6² + 8² = r²

r² = 100

Persamaan lingkarannya :

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x + 2)² + (y – 1)² = 100

3. Tentukah apakah titik (3, 4) terletak pada, di dalam , atau di luar lingkaran yang mempunyai persamaan (x – 2)² + (y – 1)² = 36 ?

Jawab:

(x – a)² + (y – b)² = (3 – 2)² + (4 – 1)²

= 1² + 3²

= 10

r² = 36

10 < 36 atau (x – 2)² + (y – 1)² < r²

Jadi, titik (3, 4) terletak di dalam lingkaran (x – 2)² + (y – 1)² = 36.

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² kita jabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, maka kita peroleh bentuk sebagai berikut :

(x – a)² + (y – b)² = r²

x ² – 2ax + a² + y ² – 2by + b² = r²

x ² + y ² – 2ax – 2by + a² + b² = r²

x ² + y ² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

atau ditulis :

Contoh:

1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x ² + y ² + 6x + 4y – 3 = 0 !

Jawab:

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x ² + 3y ² – 4x + 8y – 1 = 0 !

Jawab:

3x ² + 3y ² – 4x + 8y – 1 = 0

D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Pada Lingkaran dengan Pusat (0,0)

Jika diketahui titik P(x₁,y₁) terletak pada lingkaran x² + y² = r² maka persamaaan garis singgung di titik P(x₁,y₁) adalah :

Contoh:

Sebuah lingkaran dengan persamaan x² + y² = 25. Titik (3, 4) pada lingkaran itu. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (3, 4) !

Jawab:

x_1. x + y_1. y = r²

3x + 4y = 25

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Di Luar Lingkaran

Persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran O(0, 0) adalah :

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus dengan garis 4x – 3y – 5 = 0 !

Jawab:

Untuk x² + y² = 25, maka r = 5

3. Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran dengan Pusat (a,b) dan bergradien m

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a,b) dan bergradien m dirumuskan sebagai berikut :

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (2,1) pada lingkaran x² + y² +2x –4y –5 = 0!

Jawab:

Pusat lingkaran x² + y² + 2x – 4y – 5 = 0 adalah P(-1, 2) dan jari-jari $latex \sqrt{10}$, maka persamaan garis singgungnya :

(x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

(2 + 1)(x + 1) + (1 – 2)(y – 2) = 10

3(x + 1) – 1(y – 2) = 10

3x + 3 – y + 2 = 10

3x – y = 5

E. Persamaan Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam

1. Garis Singgung Persekutuan Luar (S_l)

 

 

 

Contoh:

Diketahui lingkaran yang berpusat di P berjari-jari 4 cm dan lingkaran yang berpusat di Q berjari-jari 2 cm. PQ = 10 cm.

Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya !

Jawab:

 

 

 

 

 

 

1. Garis Singgung Persekutuan Dalam (S_d)

 

Contoh:

Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 2 cm, lingkaran lain dengan pusat P dan jari-jari 1 cm, OP = 5 cm.

Hitung panjang garis singgung sekutu dalamnya !

Jawab:

 

LATIHAN

1. Tentukan persamaan lingkaran dengan :

a. Pusat lingkaran (0, 0) , jari-jari = 6

b. Pusat lingkaran (4, 0), jari-jari = 16

2. Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui :

a. Pusat lingkaran (0, 0), melalui (-3, 4)

b. Pusat lingkaran (-3, 1), melalui (-9, 1)

3. Tentukan puat dan jari-jari lingkaran berikut ini !

a. 3x² + 3y² = 6

b. (x – 1)² + (y + 8)² = 9

4. Tentukan puat dan jari-jari lingkaran berikut ini !

a. x² + y² + 2x + 6y – 15 = 0

b. 4x² + 4y² – 16x + 8y + 11 = 0

5. Tentukan letak titik (2, 3), (1, 2), dan ($latex \sqrt{2}$,2) terhadap lingkaran x² + y² = 6 !

6. Tentukan letak titik (2, 3), (4, -6), dan (-2, 0) terhadap lingkaran (x – 7)² + (y – 2)² = 50 !

7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 5) dan menyinggung sumbu X !

8. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik (3, 4) !

9. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x² + y² = 4 yang bergradien 3 !

10. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 melalui titik (5, 1) !

11. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 4x – 3y – 25 = 0!

12. Jarak kedua pusat lingkaran 13 cm, jari-jari lingkaraan itu 6 cm dan 1 cm.

a. Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya.

b. Tentukan panjang garis singgung sekutu dalamnya.