penyelesaian soal persamaan garis singgung pada parabola

Pada artikel kali ini kita akan bahas tenntang soal – soal persamaan garis singgung pada parabol. mengenai teorinya bisa teman – teman baca lagi di artikel saya terdahulu.

Contoh 1 # :

Garis singgung pada parabola y² = -18x, sejajar dengan garis 3x – 2y + 4 = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung tersebut !.

Penyelesaian :

Dari persamaan 3x – 2y + 4 = 0 diperoleh gradient m₁ = $latex \frac{3}{2}$.

Garis singgung sejajar dengan garis 3x – 2y + 4 = 0 maka gradient garis singgung sama dengan gradient garis tersebut atau m = m₁ sehingga m = $latex \frac{3}{2}$ , dengan m adalah gradient garis singgung.

Dari persamaan parabola y² = – 18x dan y² = 4px, dapat ditentukan nilai p sebagai berikut :

4p = – 18 sehingga p = $latex \frac{-18}{4}=\frac{-9}{2}$

Persamaan garis singgung dengan gradient m = $latex \frac{3}{2}$ pada parabola y² = -18x adalah :

y = mx + $latex \frac{p}{m}$

y = $latex \frac{3}{2}$x + $latex \frac{\frac{-9}{2}}{\frac{3}{2}}$

y = $latex \frac{3}{2}$ x – 3

atau

2y = 3x – 6 (kemudian kedua ruas dikalikan dua)

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah : 3x – 2y – 6 = 0.

Contoh 2 # :

Garis singgung pada parabola (y – 3)² = 8 (x + 5), tegak lurus garis x – 2y – 4 = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung tersebut !

Penyelesaian :

Gradien garis x – 2y – 4 = 0 adalah m₁ = $latex \frac{1}{2}$

Garis singgung tegak lurus terhadap garis x – 2y – 4 = 0 maka m = $latex \frac{-1}{m} = \frac{-1}{\frac{1}{2}}$ = -2

Persamaan garis singgung dengan gradient m = -2 pada parabola (y – 3)² = 8 (x + 5) adalah

(y – b) = m ( x – a) + $latex \frac{p}{m}$ sehingga diperoleh

( y – 3) = – 2 (x + 5) + $latex \frac{2}{-2}$ atau y – 3 = -2x – 10 sehingga y = – 2x – 8

Jadi persamaan garis singgungnya adalah 2x + y + 8 = 0.

Contoh 3 # :

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (-2,4) pada parabola y² = – 8x !

Penyelesaian :

Persamaan garis singgung yang melalui titik (-2,4) pada parabola y² = -8x adalah

y₁ y = -4 (x₁ + x)

4y = -4 (-2 + x)

Kemudian kedua ruas dibagi dengan empat, sehingga :

y = – (-2 + x)

y = 2 – x

x + y – 2 = 0

jadi persamaan garis singgungnya adalah x + y – 2 = 0.

Contoh 4 # :

Tentukanlah persamaan garis singgung yang melalui titik (2, 3) pada parabola (y + 2)² = 8 (x – 1) !

Penyelesaian :

Persamaan garis singgung pada (y + 2)² = 8 (x – 1) adalah :

(y₁ + 2) (y + 2) = 4 (x₁ + x – 2)

(3 + 2) (y + 2) = 4 (2 + x – 2)

5 (y + 2) = 4x

5y + 10 = 4x

-4x + 5y + 10 = 0 kemudian kedua ruas dikalikan negative, sehingga :

4x – 5y – 10 = 0

Jadi persamaan garis singgung adalah 4x – 5y – 10 = 0.

Contoh 5 # :

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (-3,-5) di luar parabola y² = 8x .

Penyelesaian :

Kasus ini tidak dapat diselesaikan dengan rumus – rumus yang ada. Karena titik ( -3, 5) terletak di luar parabola. Untuk menyelesaikannya digunakan bantuan persamaan garis singgung dengan gradient tertentu yaitu y = mx + $latex \frac{p}{m}$.

Dari persamaan parabola y² = 8x diperoleh p = 2 sehingga persamaan garis singgung menjadi :

y = mx + $latex \frac{2}{m}$ …… (1)

kemudian kita ingat, persamaan garis singgung melalui titik (x₁, y₁) dengan gradient m adalah

(y – y₁) = m (x – x₁).

Dengan demikian, persamaan garis singgung di (-3,5) adalah :

y – (-5) = m(x –(-3))

y = mx + (3m – 5) ……..(2)

dari ruas kanan persamaan (2) dan (1) diperoleh

$latex \frac{2}{m}$ = 3m – 5

2 = 3m² – 5m

3m² – 5m – 2 = 0. Kemudian difaktorkan sehingga diperoleh :

(3m – 6) = 0 atau ( 3m + 1) = 0

m = 2 atau m = – $latex \frac{1}{3}$

setiap nilai m disubstitusikan ke persamaan y = mx + $latex \frac{2}{m}$ sehingga diperolah persamaan garis singgung :

y = 2x + $latex \frac{2}{2}$ atau y = (- $latex \frac{1}{3}$ x + $latex \frac{2}{\frac{-1}{3}}$

y = 2x + 1 atau y = – $latex \frac{1}{3}$ x – 6