penyelesaian soal persamaan garis singgung pada parabola

Penulis
Made Astawan
-
1
1541

Pada artikel kali ini kita akan bahas tenntang soal – soal persamaan garis singgung pada parabol. mengenai teorinya bisa teman – teman baca lagi di artikel saya terdahulu.

Contoh 1 # :

Garis singgung pada parabola y2 = -18x, sejajar dengan garis 3x – 2y + 4 = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung tersebut !.

Penyelesaian :

Dari persamaan 3x – 2y + 4 = 0 diperoleh gradient m1 = \frac{3}{2}.

Garis singgung sejajar dengan garis 3x – 2y + 4 = 0 maka gradient garis singgung sama dengan gradient garis tersebut atau m = m1 sehingga m = \frac{3}{2} , dengan m adalah gradient garis singgung.

Dari persamaan parabola y2 = – 18x dan y2 = 4px, dapat ditentukan nilai p sebagai berikut :

4p = – 18 sehingga p = \frac{-18}{4}=\frac{-9}{2}

Persamaan garis singgung dengan gradient m = \frac{3}{2} pada parabola y2 = -18x adalah :

y = mx + \frac{p}{m}

y = \frac{3}{2}x + \frac{\frac{-9}{2}}{\frac{3}{2}}

y = \frac{3}{2} x – 3

atau

2y = 3x – 6 (kemudian kedua ruas dikalikan dua)

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah : 3x – 2y – 6 = 0.

Contoh 2 # :

Garis singgung pada parabola (y – 3)2 = 8 (x + 5), tegak lurus garis x – 2y – 4 = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung tersebut !

Penyelesaian :

Gradien garis x – 2y – 4 = 0 adalah m1 = \frac{1}{2}

Garis singgung tegak lurus terhadap garis x – 2y – 4 = 0 maka m = \frac{-1}{m} = \frac{-1}{\frac{1}{2}} = -2

Persamaan garis singgung dengan gradient m = -2 pada parabola (y – 3)2 = 8 (x + 5) adalah

(y – b) = m ( x – a) + \frac{p}{m} sehingga diperoleh

( y – 3) = – 2 (x + 5) + \frac{2}{-2} atau y – 3 = -2x – 10 sehingga y = – 2x – 8

Jadi persamaan garis singgungnya adalah 2x + y + 8 = 0.

Contoh 3 # :

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (-2,4) pada parabola y2 = – 8x !

Penyelesaian :

Persamaan garis singgung yang melalui titik (-2,4) pada parabola y2 = -8x adalah

y1 y = -4 (x1 + x)

4y = -4 (-2 + x)

Kemudian kedua ruas dibagi dengan empat, sehingga :

y = – (-2 + x)

y = 2 – x

x + y – 2 = 0

jadi persamaan garis singgungnya adalah x + y – 2 = 0.

Contoh 4 # :

Tentukanlah persamaan garis singgung yang melalui titik (2, 3) pada parabola (y + 2)2 = 8 (x – 1) !

Penyelesaian :

Persamaan garis singgung pada (y + 2)2 = 8 (x – 1) adalah :

(y1 + 2) (y + 2) = 4 (x1 + x – 2)

(3 + 2) (y + 2) = 4 (2 + x – 2)

5 (y + 2) = 4x

5y + 10 = 4x

-4x + 5y + 10 = 0 kemudian kedua ruas dikalikan negative, sehingga :

4x – 5y – 10 = 0

Jadi persamaan garis singgung adalah 4x – 5y – 10 = 0.

Contoh 5 # :

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (-3,-5) di luar parabola y2 = 8x .

Penyelesaian :

Kasus ini tidak dapat diselesaikan dengan rumus – rumus yang ada. Karena titik ( -3, 5) terletak di luar parabola. Untuk menyelesaikannya digunakan bantuan persamaan garis singgung dengan gradient tertentu yaitu y = mx + \frac{p}{m}.

Dari persamaan parabola y2 = 8x diperoleh p = 2 sehingga persamaan garis singgung menjadi :

y = mx + \frac{2}{m} …… (1)

kemudian kita ingat, persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) dengan gradient m adalah

(y – y1) = m (x – x1).

Dengan demikian, persamaan garis singgung di (-3,5) adalah :

y – (-5) = m(x –(-3))

y = mx + (3m – 5) ……..(2)

dari ruas kanan persamaan (2) dan (1) diperoleh

\frac{2}{m} = 3m – 5

2 = 3m2 – 5m

3m2 – 5m – 2 = 0. Kemudian difaktorkan sehingga diperoleh :

(3m – 6) = 0 atau ( 3m + 1) = 0

m = 2 atau m = – \frac{1}{3}

setiap nilai m disubstitusikan ke persamaan y = mx + \frac{2}{m} sehingga diperolah persamaan garis singgung :

y = 2x + \frac{2}{2} atau y = (- \frac{1}{3} x + \frac{2}{\frac{-1}{3}}

y = 2x + 1 atau y = – \frac{1}{3} x – 6

BERITA TERKAITDARI PENULIS

1 KOMENTAR

Silahkan tuliskan Komentar teman - teman disini.