Pada artikel kali ini kita akan bahas tenntang soal – soal persamaan garis singgung pada parabol. mengenai teorinya bisa teman – teman baca lagi di artikel saya terdahulu.
Contoh 1 # :
Garis singgung pada parabola y2 = -18x, sejajar dengan garis 3x – 2y + 4 = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung tersebut !.
Penyelesaian :
Dari persamaan 3x – 2y + 4 = 0 diperoleh gradient m1 = $latex \frac{3}{2}$.
Garis singgung sejajar dengan garis 3x – 2y + 4 = 0 maka gradient garis singgung sama dengan gradient garis tersebut atau m = m1 sehingga m = $latex \frac{3}{2}$ , dengan m adalah gradient garis singgung.
Dari persamaan parabola y2 = – 18x dan y2 = 4px, dapat ditentukan nilai p sebagai berikut :
4p = – 18 sehingga p = $latex \frac{-18}{4}=\frac{-9}{2}$
Persamaan garis singgung dengan gradient m = $latex \frac{3}{2}$ pada parabola y2 = -18x adalah :
y = mx + $latex \frac{p}{m}$
y = $latex \frac{3}{2}$x + $latex \frac{\frac{-9}{2}}{\frac{3}{2}}$
y = $latex \frac{3}{2}$ x – 3
atau
2y = 3x – 6 (kemudian kedua ruas dikalikan dua)
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah : 3x – 2y – 6 = 0.
Contoh 2 # :
Garis singgung pada parabola (y – 3)2 = 8 (x + 5), tegak lurus garis x – 2y – 4 = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung tersebut !
Penyelesaian :
Gradien garis x – 2y – 4 = 0 adalah m1 = $latex \frac{1}{2}$
Garis singgung tegak lurus terhadap garis x – 2y – 4 = 0 maka m = $latex \frac{-1}{m} = \frac{-1}{\frac{1}{2}}$ = -2
Persamaan garis singgung dengan gradient m = -2 pada parabola (y – 3)2 = 8 (x + 5) adalah
(y – b) = m ( x – a) + $latex \frac{p}{m}$ sehingga diperoleh
( y – 3) = – 2 (x + 5) + $latex \frac{2}{-2}$ atau y – 3 = -2x – 10 sehingga y = – 2x – 8
Jadi persamaan garis singgungnya adalah 2x + y + 8 = 0.
Contoh 3 # :
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (-2,4) pada parabola y2 = – 8x !
Penyelesaian :
Persamaan garis singgung yang melalui titik (-2,4) pada parabola y2 = -8x adalah
y1 y = -4 (x1 + x)
4y = -4 (-2 + x)
Kemudian kedua ruas dibagi dengan empat, sehingga :
y = – (-2 + x)
y = 2 – x
x + y – 2 = 0
jadi persamaan garis singgungnya adalah x + y – 2 = 0.
Contoh 4 # :
Tentukanlah persamaan garis singgung yang melalui titik (2, 3) pada parabola (y + 2)2 = 8 (x – 1) !
Penyelesaian :
Persamaan garis singgung pada (y + 2)2 = 8 (x – 1) adalah :
(y1 + 2) (y + 2) = 4 (x1 + x – 2)
(3 + 2) (y + 2) = 4 (2 + x – 2)
5 (y + 2) = 4x
5y + 10 = 4x
-4x + 5y + 10 = 0 kemudian kedua ruas dikalikan negative, sehingga :
4x – 5y – 10 = 0
Jadi persamaan garis singgung adalah 4x – 5y – 10 = 0.
Contoh 5 # :
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (-3,-5) di luar parabola y2 = 8x .
Penyelesaian :
Kasus ini tidak dapat diselesaikan dengan rumus – rumus yang ada. Karena titik ( -3, 5) terletak di luar parabola. Untuk menyelesaikannya digunakan bantuan persamaan garis singgung dengan gradient tertentu yaitu y = mx + $latex \frac{p}{m}$.
Dari persamaan parabola y2 = 8x diperoleh p = 2 sehingga persamaan garis singgung menjadi :
y = mx + $latex \frac{2}{m}$ …… (1)
kemudian kita ingat, persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) dengan gradient m adalah
(y – y1) = m (x – x1).
Dengan demikian, persamaan garis singgung di (-3,5) adalah :
y – (-5) = m(x –(-3))
y = mx + (3m – 5) ……..(2)
dari ruas kanan persamaan (2) dan (1) diperoleh
$latex \frac{2}{m}$ = 3m – 5
2 = 3m2 – 5m
3m2 – 5m – 2 = 0. Kemudian difaktorkan sehingga diperoleh :
(3m – 6) = 0 atau ( 3m + 1) = 0
m = 2 atau m = – $latex \frac{1}{3}$
setiap nilai m disubstitusikan ke persamaan y = mx + $latex \frac{2}{m}$ sehingga diperolah persamaan garis singgung :
y = 2x + $latex \frac{2}{2}$ atau y = (- $latex \frac{1}{3}$ x + $latex \frac{2}{\frac{-1}{3}}$
y = 2x + 1 atau y = – $latex \frac{1}{3}$ x – 6
[…] penyelesaian soal persamaan garis singgung pada parabola […]