Pengertian Permutasi dan Operasinya

Permutasi

Sebelum membahas pengertian permutasi, lebih dahulu kita pelajari pengertian faktorial.

Faktorial

Also Read:

Faktorial dinotasikan atau dilambangkan dengan n! (dibaca n faktorial). n! adalah hasil perkalian semua bilangan asli dari 1 sampai n, sehingga didefinisikan sebagai berikut:

permutasi1.png

 

Contoh 1 :

Tentukan nilai dari :

  • 5!
  • 7!
  • 10!

Penyelesaian :

  • 5! = 5 4 3 2 1 = 120
  • 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040
  • 10! = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 3628800

Contoh 2:

Tentukan nilai dari:

  • \frac{81!}{71!}
  • \frac{100!}{98!}
  • \frac{n!}{(n-1)!}

Peyelesaian:

  • \frac{81!}{71!}=\frac{8.7.6.5.4.3.2.1}{7.6.5.4.3.2.1}=8

atau :

\frac{8!}{7!}=\frac{8.7!}{7!}=8

  • \frac{100!}{98!}=\frac{100.99.98!}{98!}=9900
  • \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n.(n-1).(n-2)….3.2.1}{(n-1).(n-2)….3.2.1}=n

atau

\frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}=n

permutasi2.png

Permutasi :

permutasi3.png

 

Permutasi dapat dikelompokkan menjadi beberapa macam.

Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen.

 

permutasi4.png

Contoh 1:

Tentukan banyaknya permutasi jika tiga buah unsur {a, b, c} dipermutasikan tiga-tiga tiap kelompok.

Penyelesaiannya :

Unsur yang tersedia ada tiga dan setiap pengambilan tiga unsur, maka dengan pengisian tempat diperoleh:

permutasi5.png

Contoh 2:

Dari 6 orang akan duduk pada 6 kursi yang diatur berderet. Ada berapa cara urutan duduk yang berbeda yang dapat dilakukan?

Penyelesaian :

Jumlah urutan duduk yang berbeda.

P(6, 6) = 6!

= 6 5 4 3 2 1

= 720 cara

Permutasi n elemen, tiap permutasi terdiri dari r unsur dengan r < n.

permutasi6.png

Contoh 1:

Tentukan banyaknya permutasi jika empat buah unsur {a, b, c, d} dipermutasikan tiga-tiga tiap kelompok!

Penyelesaian:

Unsur yang tersedia ada empat dan setiap pengambilan tiga unsur, maka dengan pengisian tempat diperoleh.

permutasi7.png

 

Atau P_{(4,3)}=\frac{4!}{(4-3)!}=24

yaitu : abc, bac, cab, dab, acd, bad, cbd, dbc, abd, bad, cad, dac, adb, bda, cda, dcb, acb, bca, cba, dba, adc, bdc, cdb, dca.

Contoh 2:

Jika tersedia angka-angka 2, 4, 6, dan 8 akan dibentuk bilangan asli yang terdiri dari dua angka yang berbeda. Berapakah banyaknya bilangan asli yang terjadi?

Penyelesaiannya :

n = 4 dan r = 2

banyaknya bilangan asli yang terjadi.

permutasi8.png

Permutasi dari n unsur yang mengandung dan r unsur yang sama

permutasi9.png

Untuk : n = banyaknya elemen seluruhnya

P = banyaknya elemen kelompok 1 yang lama

q = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama

r = banyaknya elemen kelompok 3 yang sama

Contoh :

Tentukan banyaknya susunan huruf-huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “SURAKARTA”!

Penyelesaian :

Terdapat 9 huruf, huruf S sebanyak 1, huruf U sebanyak 1, huruf R sebanyak 2, huruf A sebanyak 3, huruf K sebanyak 1 dan T sebanyak 1.

Banyaknya susunan huruf adalah:

permutasi10.png

Permutasi siklis

Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).

Contoh 1:

Jika ada tiga macam kunci, misal x, y, z. berapa banyaknya permutasi apabila:

  • kunci ditempatkan pada tempat yag sebaris
  • kunci ditempatkan melingkar

Penyelesaian :

  • kunci diletakkan pada tempat yang sebaris

permutasi11.png

 

  • kunci ditempatkan melingkar

permutasi12.png

Contoh 2:

Pada suatu pertemuan terdapat 8 orang yang duduk dalam posisi melingkar. Tentukan banyaknya cara duduk tersebut?

Penyelesaian:

Banyaknya cara duduk: P(8) = (8–1)!

= 7!

= 5040 cara

Permutasi berulang dari n unsur, tipa permutasi terdiri dari k unsur

permutasi13.png

Contoh:

Dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5, jika kita akan membentuk suatu bilangan yang terdiri dari 4 angka dan diperbolehkan ada angka berulang, tentukan banyaknya bilangan yang terjadi!

Penyelesaian:

dengan metode perkalian

angka yang terbentuk 4 angka, berarti ribuan maka:

permutasi14.png

dengan rumus

n = 5 dan k = 4

P_{5}=(5)^{4}=625 bilangan

Komentar Pembaca

Pengertian Permutasi dan Operasinya | Made Astawan | 4.5
>