Pembahasan lengkap soal perbandingan dalam kompetisi matematika
Pembahasan lengkap soal perbandingan dalam kompetisi matematika
Berikut ini saya akan membahas beberapa soal tentang perbandingan yang biasanya muncul di kompetisi olimpiade matematika. Baik kita langsung saja ke soal – soalnya.
Contoh 1 # :
Also Read:
Joko dan Badrun berdiri pada suatu antrian. Pada antrian tersebut, perbandingan antara banyaknya orang di depan dan di belakang Joko adalah 1 ∶ 3. Sedangkan perbandingan antara banyaknya orang di depan dan di belakang Badrun adalah 2 ∶ 5. Paling sedikit banyaknya orang pada antrian tersebut adalah ….
Jawab :
Misalkan jumlah orang pada antrian tersebut adalah x
Misalnya pembanding pada perbandingan depan belakang joko adalah m, sehingga :
1m + 3m = x
4m = x ….. persamaan 1
Misalnya pembanding pada perbandingan depan belakang Badrun adalah n, sehingga :
2n + 5n = x
7n = x …… persamaan 2
Kemudian samakan persamaan 1 dan 2, sehingga :
4m = 7n
Selanjutnya kita mencari nilai m dan n secara bersamaan sehingga kedua ruas memiliki nilai yang sama.
Jika nilai m = 1 maka nilai n = 4/7 (tidak memenuhi)
Jika nilai m = 2 maka nilai n = 8/7 (tidak memenuhi )
Jika nilai m = 3 maka nilai n = 12/7 ( tidak memenuhi)
…..
Jika nilai m = 7 maka nilai n = 4 ( memenuhi)
Ini berarti pembanding untuk m (perbandingan joko adalah 7) dan pembanding untuk n (pada perbandingan badrun adalah 4)
Pada perbandingan joko :
x = 1m + 3m = 1 (7) + 3 (7) = 7 + 21 = 28
Pada perbandingan Badrun :
x = 2n + 5n = 2 (4) + 5 (4) = 8 + 20 = 28
jadi jumlah orang dalam antrian tersebut adalah 28 orang.
Contoh 2 # :
Saat ini, usia Hasan sama dengan 7 kali usia Yenny. Dua tahun lalu, usia Hasan sama dengan 9 kali usia Yenny. Usia Hasan saat ini adalah ….
Jawab :
Misal Usia Hasan saat ini = H
Usia Yeni saat Ini = Y
Usia hasan = 7 kali usia yeni, ditulis :
H = 7y ….. persamaan 1
Dua tahun lalu usia hasan 9 kali usia yeni, ditulis :
H – 2 = 9 ( y – 2 )
H – 2 = 9y – 18 …….persamaan 2
Substitusi persamaan 1 ke persamaan 2
7y – 2 = 9y – 18
7y – 9y = -18 + 2
-2y = – 16
y = 8
H = 7y = 7.(8) = 56
Jadi, usia hasan saat ini adalah 56 tahun dan usia yeni 8 tahun.
Contoh 3 # :
Sebuah kotak berisi bola merah dan bola putih dengan 80% di antaranya adalah bola merah. Mula-mula diambil 35 bola merah dan 5 bola putih dari kotak tersebut. Sisanya dibagi menjadi beberapa kelompok, masing-masing terdiri atas 7 bola. Pada setiap kelompok terdapat 5 bola merah. Pada awalnya paling sedikit terdapat … bola dalam kotak tersebut.
Jawab :
Misalkan jumlah total bola merah dan bola putih dalam kotak adalah x
Komposisi bola merah = 80% berarti :
Jumlah total bola merah = 80% x =$latex \frac{80}{100}x=\frac{4}{5}x$
Jumlah total bola putih = 20% x =$latex \frac{20}{100}x=\frac{1}{5}x$
Pengambilan I
Diambil 35 bola merah dan 5 bola putih, berarti
Pengambilan total pada pengambilan pertama adalah 40
Sisa bola dalam kantong = x – 40
Sisa bola merah dalam kantong =$latex \frac{4}{5}x-35$
Sisa bola putih dalam kantong =$latex \frac{1}{5}x-5$
Sisa – sisa bola ini kemudian dibagi menjadi beberapa kelompok dengan ketentuan :
Poin a , b , dan c harus memuat angka yang sama
Kita misalkan jumlah kelompok adalah 1 berarti n = 1
x – 40 = 7. 1
x = 47
dengan cara yang sama seperti di atas juga tidak memenuhi.
Coba untuk n = 4
x – 40 = 28
x = 68 ( tidak memenuhi)
coba untuk n = 5
x – 40 = 35
x = 35 + 40 = 75
kemudian kita masukkan ke poin b,$latex \frac{4}{5}x-35=5n$
$latex \frac{4}{5}.75-35=25$
60 – 35 = 25
25 = 25 ( memenuhi)
Kemudian kita masukkan ke poin c,$latex \frac{1}{5}x-5=2n$
$latex \frac{1}{5}.75-5=2.5$
15 – 5 = 10
10 = 10 ( memenuhi )
Karena untuk n = 5 poin a , b , dan c semua dipenuhi maka banyaknya jumlah awal bola paling sedikit adalah 75. Dan jumlah bola merah setelah pengambilan pertama adalah 25 ( masuk akal kan jika dibagi ke dalam 5 kelompok maka setiap kelompok terdiri dari 5 bola merah sesuai dengan pernyataan soal). Sedangkan jumlah bola putih setelah pengambilan pertama adalah 10 ( jika ditaruh dalam 5 kelompok, maka setiap kelompok terdiri dari 2 bola putih. Sesuai dengan pernyataan soal).
