Pembahasan lengkap soal perbandingan dalam kompetisi matematika
Berikut ini saya akan membahas beberapa soal tentang perbandingan yang biasanya muncul di kompetisi olimpiade matematika. Baik kita langsung saja ke soal – soalnya.
Contoh 1 # :
Joko dan Badrun berdiri pada suatu antrian. Pada antrian tersebut, perbandingan antara banyaknya orang di depan dan di belakang Joko adalah 1 ∶ 3. Sedangkan perbandingan antara banyaknya orang di depan dan di belakang Badrun adalah 2 ∶ 5. Paling sedikit banyaknya orang pada antrian tersebut adalah ….
Jawab :
Misalkan jumlah orang pada antrian tersebut adalah x
Misalnya pembanding pada perbandingan depan belakang joko adalah m, sehingga :
1m + 3m = x
4m = x ….. persamaan 1
Misalnya pembanding pada perbandingan depan belakang Badrun adalah n, sehingga :
2n + 5n = x
7n = x …… persamaan 2
Kemudian samakan persamaan 1 dan 2, sehingga :
4m = 7n
Selanjutnya kita mencari nilai m dan n secara bersamaan sehingga kedua ruas memiliki nilai yang sama.
Jika nilai m = 1 maka nilai n = 4/7 (tidak memenuhi)
Jika nilai m = 2 maka nilai n = 8/7 (tidak memenuhi )
Jika nilai m = 3 maka nilai n = 12/7 ( tidak memenuhi)
…..
Jika nilai m = 7 maka nilai n = 4 ( memenuhi)
Ini berarti pembanding untuk m (perbandingan joko adalah 7) dan pembanding untuk n (pada perbandingan badrun adalah 4)
Pada perbandingan joko :
x = 1m + 3m = 1 (7) + 3 (7) = 7 + 21 = 28
Pada perbandingan Badrun :
x = 2n + 5n = 2 (4) + 5 (4) = 8 + 20 = 28
jadi jumlah orang dalam antrian tersebut adalah 28 orang.
Contoh 2 # :
Saat ini, usia Hasan sama dengan 7 kali usia Yenny. Dua tahun lalu, usia Hasan sama dengan 9 kali usia Yenny. Usia Hasan saat ini adalah ….
Jawab :
Misal Usia Hasan saat ini = H
Usia Yeni saat Ini = Y
Usia hasan = 7 kali usia yeni, ditulis :
H = 7y ….. persamaan 1
Dua tahun lalu usia hasan 9 kali usia yeni, ditulis :
H – 2 = 9 ( y – 2 )
H – 2 = 9y – 18 …….persamaan 2
Substitusi persamaan 1 ke persamaan 2
7y – 2 = 9y – 18
7y – 9y = -18 + 2
-2y = – 16
y = 8
H = 7y = 7.(8) = 56
Jadi, usia hasan saat ini adalah 56 tahun dan usia yeni 8 tahun.
Contoh 3 # :
Sebuah kotak berisi bola merah dan bola putih dengan 80% di antaranya adalah bola merah. Mula-mula diambil 35 bola merah dan 5 bola putih dari kotak tersebut. Sisanya dibagi menjadi beberapa kelompok, masing-masing terdiri atas 7 bola. Pada setiap kelompok terdapat 5 bola merah. Pada awalnya paling sedikit terdapat … bola dalam kotak tersebut.
Jawab :
Misalkan jumlah total bola merah dan bola putih dalam kotak adalah x
Komposisi bola merah = 80% berarti :
Jumlah total bola merah = 80% x =$latex \frac{80}{100}x=\frac{4}{5}x$
Jumlah total bola putih = 20% x =$latex \frac{20}{100}x=\frac{1}{5}x$
Pengambilan I
Diambil 35 bola merah dan 5 bola putih, berarti
Pengambilan total pada pengambilan pertama adalah 40
Sisa bola dalam kantong = x – 40
Sisa bola merah dalam kantong =$latex \frac{4}{5}x-35$
Sisa bola putih dalam kantong =$latex \frac{1}{5}x-5$
Sisa – sisa bola ini kemudian dibagi menjadi beberapa kelompok dengan ketentuan :
Poin a , b , dan c harus memuat angka yang sama
Kita misalkan jumlah kelompok adalah 1 berarti n = 1
x – 40 = 7. 1
x = 47
dengan cara yang sama seperti di atas juga tidak memenuhi.
Coba untuk n = 4
x – 40 = 28
x = 68 ( tidak memenuhi)
coba untuk n = 5
x – 40 = 35
x = 35 + 40 = 75
kemudian kita masukkan ke poin b,$latex \frac{4}{5}x-35=5n$
$latex \frac{4}{5}.75-35=25$
60 – 35 = 25
25 = 25 ( memenuhi)
Kemudian kita masukkan ke poin c,$latex \frac{1}{5}x-5=2n$
$latex \frac{1}{5}.75-5=2.5$
15 – 5 = 10
10 = 10 ( memenuhi )
Karena untuk n = 5 poin a , b , dan c semua dipenuhi maka banyaknya jumlah awal bola paling sedikit adalah 75. Dan jumlah bola merah setelah pengambilan pertama adalah 25 ( masuk akal kan jika dibagi ke dalam 5 kelompok maka setiap kelompok terdiri dari 5 bola merah sesuai dengan pernyataan soal). Sedangkan jumlah bola putih setelah pengambilan pertama adalah 10 ( jika ditaruh dalam 5 kelompok, maka setiap kelompok terdiri dari 2 bola putih. Sesuai dengan pernyataan soal).
