GEOMETRI rUANG
Ruang dalam arti sempit terbentuk oleh adanya banyak bidang (minimal empat bidang). Kumpulan bidang tersebut terdapat istilah-istilah titik sudut, sisi,dan rusuk, seperti gambar berikut ini.
Ada hubungan antara titik sudut (T), sisi (S) dan rusuk (R), yaitu yang disebut Rumus Euler: T + S – R = 2.
Kumpulan bidang-bidang yang beraturan ada yang berpermukaan datar, seperti: limas, prisma, kubus, dan balok. Dan ada bidang banyak yang berpermukaan lengkung, seperti: kerucut, tabung, dan bola.
Jika kita sedang berhadapan dengan masalah-maslah yang berhunbungan bangun ruang-bangun ruang seperti di atas akan sangat membantu jika kita dapat membayangkan atau dapat menggambarkannya. Untuk itu kita harus mengenal cirri-ciri khusus dan rumus-rumus yang berkaitan dengan bangun ruang tersebut. Berikut adalah cirri-ciri khusus dan rumus-rumus yang dapat digunakan.
Limas
Limas adalah bidang banyak yang ditentukan oleh daerah polygon (yang disebut alas), suatu titik yang tidak terletak pada bidang polygon dan segitiga-segitiga yang ditentukan oleh titik tersebut dan sisi-sisi dari polygon. Alas-alas dari suatu limas dapat berupa segitiga, segiempat, segilima, dan lain lain. Dan jika alas limas itu menyerupai lingkaran maka dinamakan kerucut.
Luas permukaan limas merupakan gabungan dari luas alas dengan luas segitiga-segitiga yang membentuknya (menggunakan rumus yang beruhubungan sesuai dengan bentuknya)
Volume limas adalah: 1/3 luas alas x tinggi
Kerucut
Kerucut merupakan bentuk limas dengan alasnya berbentuk lingkaran, atau merupakan benda putar dari bidang segitiga.
Luas permukaan kerucut seluruhnya adalah: $latex \phi r (s + r)$, dengan keterangan r= jari-jari lingkaran dan s = panjang garis pelukis (panjang dari alas ke puncak kerucut).
Volume kerucut adalah: $latex \frac{1}{3}\phi r^{2} t$, , dengan keterangan r= jari-jari lingkaran alas dan t= tinggi kerucut.
Prisma
Prisma adalah bidang banyak yang dibentuk oleh dua daerah polygon kongruen yang terletak pada bidang sejajar, dan tiga atau lebih daerah jajaran genjang yang ditentukan oleh sisi-sisi dua daerah polygon tersebut sedemikian hingga membentuk permukaan tertutup sederhana. Dua daerah polygon kongruen yang terletak pada bidang sejajar dapat berupa segitiga, segiempat, segilima, dan lain-lain. Dan jika dua polygon tersebut berbentuk menyerupai lingkaran akan disebut tabung (silinder). Berikut berturut-turut adalah gambar prisma segitiga, prisma segiempat, dan prisma segilima.
Cobalah Anda bayangkan atau gambar jarring-jaringnya, agar Anda lebih memahami terhadap cirri-cirinya.
Luas permukaan prisma adalah jumlah dari kedua alasnya (atas dan bawah) ditambah dengan luas-luas yang lain sesuai dengan bentuk prisma.
Volume prisma adalah: A.t, (A = luas alas dan t= tinggi prisma)
Tabung
Tabung merupakan benda ruang yang terbentuk oleh dua buah bidang yang berbentuk lingkaran dan sebuah bidang segiempat. Gambarnya seperti berikut.
Luas permukaan tabung adalah: luas bidang alas + luas bidang atas + luas bidang lengkung atau dengan rumus: 2 $latex \phi$ r (r + t), r = jari-jari lingkaran dan t= tinggi tabung.
Volume tabung adalah: luas alas x tinggi atau dengan rumus: $latex \phi$ r2 t
Kubus
Kubus adalah benda ruang yang memiliki enam bidang persegiempat (bujursangkar) yang sama dan sebangun, gambar dan jaring-jaringnya sebagai berikut.
Luas permukaan kunus adalah jumlah seluruh luas sisi-sisinya (6 x luas sisi) atau dengan rumus: 6s2, s= panjang rusuk.
Volume kubus adalah: s3
Balok
Balok adalah bidang ruang yang mirip dengan kubus atau prisma segiempat, suatu balok terbentuk oleh tiga pasang bidang segiempat, dengan gambar dan jaring-jaringnya seperti berikut.
Luas permukaannya adalah jumlah luas dari enam sisi-sisinya atau: 2 pl sisi pertama + 2 pl sisi kedua + 2 pl sisi ketiga. Jika panjang sisi pertama dikatakan panjang (p), panjang sisi kedua dikatakan lebar (l), dan panjang sisi ketiga dikatakan tinggi (t), maka didapatkan rumus luas permukaan balok: 2pl + 2pt + 2lt.
Volume balok adalah panjang x lebar x tinggi atau plt
Bola
Jika kerucut merupakan benda putar dari bidang segitiga dan tabung merupakan benda putar dari bidang segiempat, maka bola adalah benda putar dari bidnag yang berbentuk lingkaran (cobalah anda bayangkan atau mencoba sendiri bagaimana suatu benda yang berbentuk lingkaran, misalnya koin atau uang logam diputar agak lama, maka akan terlihat seperti bola). Bola adalah suatu bidang lengkung yang berjarak sama terhadap titik pusat. Gambar dan jarring-jaring (dipotong empat) bola sebagai berikut.
Luas permukaan bola adalah: 4 $latex \phi$ r2
Volume bola adalah: $latex \frac{4}{3}\phi$ r3
Contoh Soal 1 # :
Perhatikan gambar berikut:
Berapakah volume tabung (tanpa tutup) yang dapat dibuat dari bangun persegi di samping?
Jawab:
Diketahui : persegi 40 cm merupakan keliling alas lingkaran dan tinggi lingkaran.
Ditanyakan : Volume tabung yang dibentuk oleh persegi tersebut.
Proses penyelesaian:
Rumus terkait: Keliling/luas lingkaran dan Volume Tabung
Keliling Lingkaran = 2 $latex \phi$ r
40 = 2 (3,14) r
40 = 6,28 r
r = 6.37 cm
Luas Lingkaran = $latex \phi$ r2
L = 3,14 (6.37)2
L = 3.14 (40.5769)
L = 127.41 cm2
Volume Tabung = Luas alas x tinggi atau $latex \phi$ r2 t
V= 127.41 x 40
V = 1096.4 cm3
Kesimpulan: Volume tabung yang terbentuk oleh persegi ukuran 40 cm adalah 1096.4 cm3
Contoh Soal 2 # :
Selembar kertas karton berbentuk tiga perempat lingkaran yang berjari-jari 14 cm, akan dibuat bangun ruang kerucut. Berapakah volume kerucut tersebut?
Jawab:
Diketahui : lingkaran dengan jari-jari (r) = 14 cm
Ditanyakan (akan dicari): Volume kerucut
Proses penyelesaian:
- harus dicari luas alas kerucut (luas lingkaran kerucut)
- Harus dicari tinggi kerucut
Luas alas kerucut dibentuk oleh $latex \frac{3}{4}$ lingkaran dengan r = 14 cm.
Keliling lingkaran kerucut=$latex \frac{3}{4}$ .2 $latex \phi$ r
K = $latex \frac{3}{4}$.2 (3.14) (14)
K = 65.94
Jari-jari lingkaran kerucut: 65.94 = 2 $latex \phi$ r
65.94 =2 (3.14) r
65.94 = 6.28 r
r = 10.5 cm
Luas alas kerucut = $latex \phi$ r2
L = 3.14 (10.5)2
L = 346.185 cm2
Tinggi kerucut dibentuk oleh jari-jari lingkaran (pada soal atau 14 cm) dan jari lingkaran kerucut atau 10.5 cm, yaitu : c2 = a2 + b2 (rumus Phitagoras). Perhatikan gambar berikut,
142 = a2 + (10.5)2
196 = a2 + 110.25
a2 = 196 – 110.25
a2 = 85.75
a = $latex \sqrt{85.75}$
a = 9.26 (tinggi kerucut)
Volume kerucut= Luas alas kerucut x tinggi (r2 t)
V = 346.185 (9.26)
V = 3205.6731 cm3
Jadi volume kerucut yang dimaksud adalah 3205.6731 cm3
Contoh Soal 3 # :
Perhatikan gambar berikut ini. Berapakah ukuran kotak kue yang terbesar (tanpa tutup) yang dapat dibuat dari ukuran kertas berikut ini?
Jawab:
Diketahui kertas ukuran 24 cm x 9 cm
Ditanyakan: buat kotak (kue) tanpa tutup yang paling besar.
Proses penyelesaian: Perhatikan gambar jarring-jaring kotak yang akan dibentuk berikut ini.
Volume kotak: p x l x t
V = (24 – 2x).(9 – 2x) .(x)
V = (216 – 48x – 18x + 4x2).(x)
V = 216x – 48x2 – 18x2 + 4x3
V = 4x3 – 66x2 + 216x
$latex \frac{dV}{dx}$= 4x3 – 66x2 + 216x = 12x2 – 132x + 216 = x2 – 11x + 18
x1 dan x2 dari persamaan kuadrat x2 – 11x + 18 adalah {2, 9}
Karena x1 = 2 dan x2 = 9, maka nilai x yang memungkinkan adalah 2 cm.(tinggi kotak).
Jadi Volume kotak tersebut adalah: (24 – 2x).(9 – 2x) .(x)
V = [24 – 2(2)].[9 – 2(2)] .(2)
V = (20).( 5).(2)
V = 200 cm3
Contoh Soal 4 # :
Satu kolam renang berbentuk seperti gambar di bawah ini. Dengan keterangan: panjang 25 m, lebar 10 m, yang paling dalam 3 m dan yang paling dangkal 1 m sepanjang 5 m. Berapakah liter air yang dibutuhkan untuk memenuhi kolam renang tersebut?
Jawab:
Diketahui: panjang kolam 25 m, lebar 10 m, yang paling dalam 3 m dan yang paling dangkat 1 m sepanjang 5 m.
Ditanyakan volume kolam dalam liter.
Penyelesaian:
Volume kolam yang dangkal dengan ukuran 25 x 10 x 1 = 250 m3
Volume kolam dari terdangkal ke yang dalam: ½ ( 20 x 10 x 2 ) = 200 m3
Jadi volume kolam seluruhnya adalah: 250 m3 + 200 m3 = 450 m3
