Menyelesaikan persamaan Kuadrat dan jenisnya.

Polinomial yang memiliki pangkat tertinggi dua adalah persamaan kuadrat. karena pangkat tertingginya adalah 2 maka persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian yaitu dua nilai x , kecuali persamaan kuadrat sempurna. Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum: ax² + bx + c = 0 , a > 0 a, b dan c adalah bilangan real.

Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

a)       memfaktorkan,

b)       melengkapkan kuadrat sempurna,

c)       menggunakan rumus.

Uraian:

• Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax² + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh 1# :

Selesaikan x² – 4 x + 3 = 0

Jawab:

x² – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0

x = 3   atau    x = 1

Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Contoh 2 #:

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)² = x – 2.

Jawab:

(x – 2)² = x – 2

x² – 4 x + 4 =  x – 2

x² – 5 x + 6 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0   atau   x – 2 = 0

x = 3   atau          x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.

Contoh 3 #:

Tentukan penyelesaian dari 2 x² + 7 x + 6 = 0.

Jawab:

2 x² + 7 x + 6 = 0

2 x² + 4 x + 3 x + 6 = 0

2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(x + 2) (2 x + 3) = 0

x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0

x = –2   atau           x = – 1

Jadi, penyelesaiannya adalah  –2 dan –1.

• Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.

Jawab:

x² – 6 x + 5 = 0

x² – 6 x + 9 – 4 = 0

x² – 6 x + 9 = 4

(x – 3)² = 4

x – 3 = 2  atau x – 3 = –2

x = 5    atau     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

Contoh 2 #:

Tentukan penyelesaian dari 2 x² – 8 x + 7 = 0.

Jawab:

2 x² – 8 x + 7 = 0

2 x² – 8 x + 8 – 1 = 0

2 x² – 8 x + 8 = 1

2 (x² – 4 x + 4) = 1

2 (x – 2)² = 1

(x – 2)² = ½

x – 2 =    atau x – 2 = –

x = 2 +    atau x = 2 –

Jadi, penyelesaiannya adalah   2 +   dan   2 – .

• Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x² + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 7x – 30 = 0.

Jawab:

x² + 7x – 30 = 0

a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30

x = 3   atau   x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0  dengan akar-akarnya  ,  b² – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai  .

Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai  x tergantung dari nilai  D.

Apabila:

1. D > 0  maka    merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan,       .
2. D = 0  maka  = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.                .
3. D < 0  maka    merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

• x² + 5 x + 2 = 0
• x² – 10 x + 25 = 0
• 3 x² – 4 x + 2 = 0

Jawab :

• x² + 5 x + 2 = 0

a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2

D = b² – 4ac = 5² – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x² + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.

• x² – 10 x + 25 = 0

a = 1  , b = -10  ,  c = 25

D = b² – 4ac = (-10)² – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0

Karena  D = 0, maka persamaan x² – 10 x + 25 = 0  mempunyai dua akar real sama.

• 3 x² – 4 x + 2 = 0

a = 3  ,  b = –4  ,  c = 2

D = b² – 4ac = (-4)² – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8

Ternyata bahwa  D < 0. Jadi, persamaan  3 x² – 4 x + 2 = 0  tidak mempunyai akar real.