Polinomial yang memiliki pangkat tertinggi dua adalah persamaan kuadrat. karena pangkat tertingginya adalah 2 maka persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian yaitu dua nilai x , kecuali persamaan kuadrat sempurna. Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum: ax2 + bx + c = 0 , a > 0 a, b dan c adalah bilangan real.
Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a) memfaktorkan,
b) melengkapkan kuadrat sempurna,
c) menggunakan rumus.
Uraian:
- Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1# :
Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab:
x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
Contoh 2 #:
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.
Jawab:
(x – 2)2 = x – 2
x2 – 4 x + 4 = x – 2
x2 – 5 x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 atau x – 2 = 0
x = 3 atau x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
Contoh 3 #:
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.
Jawab:
2 x2 + 7 x + 6 = 0
2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0
x = –2 atau x = – 1
Jadi, penyelesaiannya adalah –2 dan –1.
- Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab:
x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x = 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
Contoh 2 #:
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 – 8 x + 7 = 0.
Jawab:
2 x2 – 8 x + 7 = 0
2 x2 – 8 x + 8 – 1 = 0
2 x2 – 8 x + 8 = 1
2 (x2 – 4 x + 4) = 1
2 (x – 2)2 = 1
(x – 2)2 = ½
x – 2 = $latex \frac{1}{2}\sqrt{2}$ atau x – 2 = –$latex \frac{1}{2}\sqrt{2}$
x = 2 + $latex \frac{1}{2}\sqrt{2}$ atau x = 2 –$latex \frac{1}{2}\sqrt{2}$
Jadi, penyelesaiannya adalah 2 + $latex \frac{1}{2}\sqrt{2}$ dan 2 – $latex \frac{1}{2}\sqrt{2}$.
- Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab:
x2 + 7x – 30 = 0
a = 1 , b = 7 , c = – 30
$latex x_{1,2}=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$latex x_{1,2}=\cfrac{-7\pm\sqrt{49+169}}{2}$
$latex x_{1,2}=\cfrac{-7\pm13}{2}$
x = 3 atau x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.
Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2 – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai .
Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.
Apabila:
- D > 0 maka $latex \sqrt{D}$ merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .
- D = 0 maka $latex \sqrt{D}$ = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. .
- D < 0 maka $latex \sqrt{D}$ merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:
- x2 + 5 x + 2 = 0
- x2 – 10 x + 25 = 0
- 3 x2 – 4 x + 2 = 0
Jawab :
- x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5 , c = 2
D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.
- x2 – 10 x + 25 = 0
a = 1 , b = -10 , c = 25
D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0 mempunyai dua akar real sama.
- 3 x2 – 4 x + 2 = 0
a = 3 , b = –4 , c = 2
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2 – 4 x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real.
