Menentukan suatu matriks dari hasil kali perkalian dua buah matriks

Dalam operasi matriks kita mengenal adanya operasi perkalian suatu matriks. dari operasi perkalian ini tentunya kita akan memperoleh hasil dalam bentuk matriks juga. misalnya ada matriks A yang berordo 2 x 2 dikalikan dengan matriks B yang berordo 2 x 2 juga maka akan menghasilkan matriks C yang juga berordo 2 x 2. Jika seandainya matriks hasil sudah diketahui, dan kita mencari salah satu dari matriks pengali katakanlah matriks A yang belum diketahui. maka untuk menyelesaikannya ada dua cara yang bisa kita gunakan yaitu :

1. Dengan membuat persamaan matriks tersebut ke dalam bentuk persamaan Linear kemudian menyelesaikan dengan metode elemenasi atau substitusi.
2. Dengan menggunakan invers matriks

Pada pembahasan kali ini kita hanya fokus mencari suatu matriks dengan cara yang pertama saja. Untuk lebih jelasnya, kita langsung saja bahas soal – soal berikut. Soal – soal di bawah saya ambil dari soal Seleksi Perguruan Tinggi Negeri.

Soal 1 # :

Jika MN  matriks satuan dengan

$latex N=\begin{pmatrix}2 & 4\\ 1& 6\end{pmatrix}$

maka Tentukanlah matriks M .  ( Soal UMPTN 1992 Rayon B )

Jawab :

dalam soal, hasil dari perkalian dua matriks tersebut adalah matriks satuan atau matriks identitas. berarti elemen dari matriks MN adalah :

$latex MN=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

kemudian kita misalkan matriks M komponennya adalah :

$latex M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

maka perkalian dari matriks M dan N dapat ditulis sebagai berikut :

$latex \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&4\\1&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

dalam menyelesaikan bentuk ini, teman – teman harus mengingat cara mengalikan dua buah matriks, yaitu baris pada matriks pertama kita kalikan dengan kolom pada baris kedua, sehingga perkalian matriks diatas menghasilkan :

$latex \begin{pmatrix}2a+b&4a+6b\\2c+d&4c+6d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

selanjutnya elemen yang bersesuain kita samakan, sehingga kita mendapatkan empat buah persamaan yaitu :

2a + b = 1  ……………….( Persamaan 1)

4a + 6b = 0 ………………( persamaan 2)

2c + d = 1 ………………….( Persamaan 3)

4c + 6d = 0 ………………..( Persamaan 4)

untuk mencari nilai a, b , c, dan d ini kita elemenasi persamaan 1 dan persamaan 2, sehingga didapat :

nilai b ini kemudian kita substitusi ke persamaan 1 atau persamaan 2 sehingga kita mendapatkan nilai a.

$latex a=\frac{3}{4}$

selanjutnya kita akan mengelemenasi persamaan 3 dan 4, sehingga hasil elemenasinya bisa kita lihat sebagai berikut :

kemudian nilai d ini kita substitusi kita substitusikan ke persamaan 3 atau persamaan 4. sehingga kita mendapatkan nilai c.

$latex c=\frac{-1}{8}$

sehingga matriks M kita dapatkan hasil :

$latex M=\begin{pmatrix}\frac{3}{4}&\frac{-1}{2}\\\frac{-1}{8}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}$

Soal 2# :

Matriks X yang memenuhi persamaan :

$latex \begin{pmatrix}2&7\\5&3\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}-3&8\\7&-9\end{pmatrix}$

( UMPTN 1992)

Jawab :

Pertama, kita misalkan matriks X adalah :

$latex X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

kemudian kedua matriks ini kita kalikan, sehingga :

$latex \begin{pmatrix}2&7\\5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&8\\7&-9\end{pmatrix}$

selanjutnya akan menjadi :

$latex \begin{pmatrix}2a+7c&2b+7d\\5a+3c&5b+3d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&8\\7&-9\end{pmatrix}$

dari bentuk terakhir ini kita memperoleh empat buah persamaan, yaitu :

2a + 7c = -3   ………………….(pers 1)

2b + 7d = 8    ………………….(pers 2)

5a + 3c  = 7    ………………….( pers 3)

5b + 3d = -9   ………………….( pers 4)

kemudian pers 1 dan pers 3 kita elemenasi,

nilai c  ini kita substitusikan ke persamaan 1 atau 3, sehingga di dapat nilai a = 2.

selanjutnya persamaan 2 dan persamaan 4 kita elemenasi, sehingga hasil elemenasinya adalah sebagai berikut :

nilai d  ini kita substitusi ke persamaan 2 atau persamaa 4, sehingga kita mendapatkan nilai b = -3.

Dengan demikian matriks X yang memenuhi adalah :

$latex X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}$

Demikian pembahasan tentang mencari atau menentukan matriks dari hasil kali matriks yang sudah diketahui. semoga membantu.