Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertingginya adalah dua. Secara umum ditulis $latex ax^{2} + bx + c = 0 $. mencari himpunan penyelesaian ( HP) persamaan kuadrat berarti kita mencari nilai x atau variabelnya. karena pangkat tertingginya adalah dua maka penyelesaiannya pun ada dua.
Secara umum terdapat tiga cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu :
- Dengan cara memfaktorkan
- Dengan melengkapkan kuadrat sempurna
- Dengan memakai rumus ABC
Pada artikel kali ini kita hanya akan membahas cara mencari himpunan penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara yang pertama yaitu dengan cara memfaktorkan.
Kasus yang pertama : untuk nilai a bernilai satu.
Teman – teman jangan bingung, maksud dari nilai a = 1 tidak lain adalah koefesien dari variabel $latex x^{2}$ adalah satu.
Misalkan, terdapat persamaan kuadrat :
$latex x^{2} – bx + c = 0$
maka, cara penyelesaiannya adalah kita lihat $latex x^{2}$. kemudian kita pikirkan : berapa dikali berapa biar hasinya $latex x^{2}$. kemudian kita lihat c, berapa kali berapa yang menghasilkan c tetapi kalau dijumlah menghasilkan b. kemudian setelah dapat baru kita pasangkan. haha….pastinya bingung dengan kata – kata yang mumet itu. sudah lupakan saja kata itu, kita langsung ke soalnya.
Contoh 1 # :
Tentukanlah Himpunan penyelesaian dari $latex x^{2} – 5x + 6 = 0$.
Jawab :
Pertama, kita lihat $latex x^{2}$. pikirkan !. berapa kali berapa supaya $latex x^{2}$?. dalam hal ini x dikalikan dengan x.
kedua, perhatikan konstantanya dan koefesien dari x, yaitu c dan b. pikirkan dua buah bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 tetapi kalau dijumlah menghasilkan -5. dalam hal ini bilangan yang tepat adalah -2 dan – 3.
ketiga, kemudian kita pasangkan langkah pertama dengan langkah kedua. maksudnya bagaimana?. maksudnya begini di langkah pertama kita memiliki dua faktor x. x yang pertama kita pasangkan dengan -2 dilangkah kedua menjadi (x – 2). kemudian x yang kedua pada langkah pertama kita pasangkan dengan -3 sehingga menjadi (x – 3). dan faktornya menjadi :
(x – 2) ( x – 3) = 0
x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = 2 atau x = 3
Jadi himpunan penyelesaian dari $latex x^{2} – 5x + 6 = 0$ adalah 2 atau 3 ditulis HP = {2,3}.
Contoh 2 # :
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari $latex x^{2} + 8x + 12 = 0$
jawab :
Sama dengan cara di atas pada contoh 1.
$latex x^{2}$ = x kali x
12 = 6 kali 2
8 = 6 + 2
Sehingga : (x + 6) (x + 2 ) = 0
x + 6 = 0 atau x + 2 = 0
x = -6 atau x = – 2
jadi Himpunan penyelesaiannya adalah HP = {-6, -2}
Sekarang bagaimana seandainya nilai a atau koefesien dari $latex x^{2}$ lebih dari 1. sekarang kita masuk ke kasus yang kedua.
kasus kedua, nilai a lebih dari 1 (a> 1). sebaiknya kita langsung saja ke contoh biar tidak tambah mumet.
Contoh 3# :
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari $latex 2x^{2} – x – 3 = 0$.
jawab :
kita tulis dulu persamaannya $latex 2x^{2} – x – 3 = 0$. hal ini berarti a = 2, b = -1, dan c = -3.
langkah pertama : kita kalikan a dengan c dalam hal ini 2 kali -3 sama dengan -6.
kemudian kita lihat b dan koefesiennya, kita pikirkan dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -6 tetapi jika dijumlah menghasilkan -1. dalam hal ini kita dapatkan bilangan -3 dan +2. rinciannya seperti ini ;
$latex – 6x^{2}$ = -3x kali -2x
-x = -3x + 2x
kemudian kita ganti -x dalam persamaan dengan -3x dan +2x, sehingga menjadi :
$latex 2x^{2} – x – 3 = 0$
$latex 2x^{2}$ – 3x + 2x – 3 = 0 ( -x diganti -3x dan +2x)
kemudian kita ambil dua suku dari masing – masing untuk difaktorkan :
($latex 2x^{2} – 3x$) + (2x – 3) = 0
x ( 2x – 3 ) + 1 ( 2x – 3) = 0
perhatikan dari masing – masing faktor terdapat faktor yang sama yaitu (2x – 3). kemudian kita keluarkan sehingga menjadi :
(2x – 3) ( x + 1 ) = 0
2x – 3 = 0 atau x + 1 = 0
2x = 3 atau x = -1
x = $latex \frac{3}{2}$ atau x = -1
jadi, himpunan penyelesaian dari $latex 2x^{2} – x – 3 = 0 $ adalah -1 dan $latex \frac {3}{2}$.
