Membuktikan bilangan habis dibagi
Membuktikan bilangan habis dibagi
bilangan yang habis dibagi adalah bilangan yang bersisa nol jika dibagi dengan suatu bilangan. Bagimana membuktikan bilangan yang habis dibagi?.kita langsung simak contoh- contoh soal di bawah ini !
contoh1#:
Also Read:
buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n, berlaku $latex n^{3}-n$ habis dibagi 3.
penyelesaian:
kita akan membuktikan soal ini dengan menggunakan induksi matematika. Untuk n=2, bilangan
$latex n^3-n=2^3-2=6$
Dan 6 merupakan bilangan yang habis dibagi3.
Asumsikan untuk n=k, bilangan $latex k^3-k$ habis dibagi 3. Sekarang kita akan membuktikan bahwa pernyataan ini juga benar untuk n=k+1. Perhatikan bahwa:
$latex n^3-n=(k+1)^3-(k+1)$
$latex n^3-n=k^3+3k^2+3k+1-k-1$
$latex n^3-n=(k^3-k)+(3k^2+3k)$
$latex n^3-n=(k^3-k)+3(k^2+k)$
Suku pertama habis dibagi 3 berdasarkan asumsi induksi dan suku kedua habis dibagi 3 karena kelipatan 3. Berdasarkan induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa $latex n^3-n$ habis dibagi 3.
Selain dengan induksi, soal ini bisa juga dibuktikan dengan cara yang lain. Perhatikan bahwa ;
$latex n^3-n=n(n^2-1)$
$latex n^3-n=n(n-1)(n+1)$
$latex n^3-n=(n-1)n(n+1)$
jadi, $latex n^3-n$ merupakan perkalian tiga bilangan berurutan, sehingga selalu memuat bilangan yang habis dibagi 3.
Contoh 2#:
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, bilangan $latex n^5-n$ habis dibagi 5.
Penyelesaian:
perhatikanbahwa:
$latex n^5-n=n(n^4-1)$
$latex n^5-n=n(n^2-1)(n^2+1)$
$latex n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Kita mengetahui bahwa suatu bilangan habis dibagi 5 jika dan hanya jika angka terakhir adalah nol atau lima. Dengan melihat n(n-1)(n+1), bilangan $latex n^5-n$ akan mempunyai angka akhir nol atau 5 jika angka akhir n adalah salah satu dari 0, 1, 4, 5, 6, 9. Jika angka akhir n adalah 2, 3, 7, 8, maka angka akhir $latex n^2+1$ adalah 5, 0, 0, 5.jadi, kita telah membuktikan ini dengan lengkap.
Baca Juga : Download soal olimpiade internasional (IMO)
Contoh 3#:
Buktikan bahwa $latex 49^n-36^n$ habis dibagi 13.
Penyelesaian:
Untuk setiap n berlaku:
$latex a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$
Maka $latex a^{n}-b^{n}$ habis dibagi oleh a – b.
Merujuk pada sifat ini, kita dapatkan bahwa:
$latex 49^n-36^n$ akan habis dibagi 49 – 36 = 13.
Dengan demikian $latex 49^n-36^n$ habis dibagi 13 (terbukti).
Catatan : jika n=2k genap, maka $latex a^n-b^n=(a^2)^k-(b^2)^k$ habis dibagi oleh $latex a^2-b^2$. Dan kita tahu $latex a^2-b^2$ habis dibagi oleh a + b maupun a – b. jadi, untuk$latex a^{2k}-b^{2k}$ habis dibagi a + b maupun a – b.
