Membuktikan bilangan habis dibagi
bilangan yang habis dibagi adalah bilangan yang bersisa nol jika dibagi dengan suatu bilangan. Bagimana membuktikan bilangan yang habis dibagi?.kita langsung simak contoh- contoh soal di bawah ini !
contoh1#:
buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n, berlaku $latex n^{3}-n$ habis dibagi 3.
penyelesaian:
kita akan membuktikan soal ini dengan menggunakan induksi matematika. Untuk n=2, bilangan
$latex n^3-n=2^3-2=6$
Dan 6 merupakan bilangan yang habis dibagi3.
Asumsikan untuk n=k, bilangan $latex k^3-k$ habis dibagi 3. Sekarang kita akan membuktikan bahwa pernyataan ini juga benar untuk n=k+1. Perhatikan bahwa:
$latex n^3-n=(k+1)^3-(k+1)$
$latex n^3-n=k^3+3k^2+3k+1-k-1$
$latex n^3-n=(k^3-k)+(3k^2+3k)$
$latex n^3-n=(k^3-k)+3(k^2+k)$
Suku pertama habis dibagi 3 berdasarkan asumsi induksi dan suku kedua habis dibagi 3 karena kelipatan 3. Berdasarkan induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa $latex n^3-n$ habis dibagi 3.
Selain dengan induksi, soal ini bisa juga dibuktikan dengan cara yang lain. Perhatikan bahwa ;
$latex n^3-n=n(n^2-1)$
$latex n^3-n=n(n-1)(n+1)$
$latex n^3-n=(n-1)n(n+1)$
jadi, $latex n^3-n$ merupakan perkalian tiga bilangan berurutan, sehingga selalu memuat bilangan yang habis dibagi 3.
Contoh 2#:
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, bilangan $latex n^5-n$ habis dibagi 5.
Penyelesaian:
perhatikanbahwa:
$latex n^5-n=n(n^4-1)$
$latex n^5-n=n(n^2-1)(n^2+1)$
$latex n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Kita mengetahui bahwa suatu bilangan habis dibagi 5 jika dan hanya jika angka terakhir adalah nol atau lima. Dengan melihat n(n-1)(n+1), bilangan $latex n^5-n$ akan mempunyai angka akhir nol atau 5 jika angka akhir n adalah salah satu dari 0, 1, 4, 5, 6, 9. Jika angka akhir n adalah 2, 3, 7, 8, maka angka akhir $latex n^2+1$ adalah 5, 0, 0, 5.jadi, kita telah membuktikan ini dengan lengkap.
Baca Juga : Download soal olimpiade internasional (IMO)
Contoh 3#:
Buktikan bahwa $latex 49^n-36^n$ habis dibagi 13.
Penyelesaian:
Untuk setiap n berlaku:
$latex a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$
Maka $latex a^{n}-b^{n}$ habis dibagi oleh a – b.
Merujuk pada sifat ini, kita dapatkan bahwa:
$latex 49^n-36^n$ akan habis dibagi 49 – 36 = 13.
Dengan demikian $latex 49^n-36^n$ habis dibagi 13 (terbukti).
Catatan : jika n=2k genap, maka $latex a^n-b^n=(a^2)^k-(b^2)^k$ habis dibagi oleh $latex a^2-b^2$. Dan kita tahu $latex a^2-b^2$ habis dibagi oleh a + b maupun a – b. jadi, untuk$latex a^{2k}-b^{2k}$ habis dibagi a + b maupun a – b.
