Membuktikan bilangan habis dibagi

bilangan yang habis dibagi adalah bilangan yang bersisa nol jika dibagi dengan suatu bilangan. Bagimana membuktikan bilangan yang habis dibagi?.kita langsung simak contoh- contoh soal di bawah ini !

contoh1#:

buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n, berlaku n^{3}-n habis dibagi 3.

penyelesaian:

kita akan membuktikan soal ini dengan menggunakan induksi matematika. Untuk n=2, bilangan

n^3-n=2^3-2=6

Dan 6 merupakan bilangan yang habis dibagi3.

Asumsikan untuk n=k, bilangan k^3-k habis dibagi 3. Sekarang kita akan membuktikan bahwa pernyataan ini juga benar untuk n=k+1. Perhatikan bahwa:

n^3-n=(k+1)^3-(k+1)

n^3-n=k^3+3k^2+3k+1-k-1

n^3-n=(k^3-k)+(3k^2+3k)

n^3-n=(k^3-k)+3(k^2+k)

Suku pertama habis dibagi 3 berdasarkan asumsi induksi dan suku kedua habis dibagi 3 karena kelipatan 3. Berdasarkan induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa n^3-n habis dibagi 3.

Selain dengan induksi, soal ini bisa juga dibuktikan dengan cara yang lain. Perhatikan bahwa ;

n^3-n=n(n^2-1)

n^3-n=n(n-1)(n+1)

n^3-n=(n-1)n(n+1)

jadi, n^3-n merupakan perkalian tiga bilangan berurutan, sehingga selalu memuat bilangan yang habis dibagi 3.

Contoh 2#:

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, bilangan n^5-n habis dibagi 5.

Penyelesaian:

perhatikanbahwa:

n^5-n=n(n^4-1)

n^5-n=n(n^2-1)(n^2+1)

n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)

Kita mengetahui bahwa suatu bilangan habis dibagi 5 jika dan hanya jika angka terakhir adalah nol atau lima. Dengan melihat n(n-1)(n+1), bilangan n^5-n akan mempunyai angka akhir nol atau 5 jika angka akhir n adalah salah satu dari 0, 1, 4, 5, 6, 9. Jika angka akhir n adalah 2, 3, 7, 8, maka angka akhir n^2+1 adalah 5, 0, 0, 5.jadi, kita telah membuktikan ini dengan lengkap.

Baca Juga : Download soal olimpiade internasional (IMO)

Contoh 3#:

Buktikan bahwa 49^n-36^n habis dibagi 13.

Penyelesaian:

Untuk setiap n berlaku:

a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})

Maka a^{n}-b^{n} habis dibagi oleh a – b.

Merujuk pada sifat ini, kita dapatkan bahwa:

49^n-36^n akan habis dibagi 49 – 36 = 13.

Dengan demikian 49^n-36^n habis dibagi 13 (terbukti).

Catatan : jika n=2k genap, maka a^n-b^n=(a^2)^k-(b^2)^k habis dibagi oleh a^2-b^2. Dan kita tahu a^2-b^2 habis dibagi oleh a + b maupun a – b. jadi, untuka^{2k}-b^{2k} habis dibagi a + b maupun a – b.

Silahkan tuliskan Komentar teman - teman disini.