Luas Suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu koordinat

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan y = f(x) atau x = g(y) atau x=g(y), y = f(x) yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positip dan luasan negatip. Luasan positip adalah luasan dengan persamaan y = f(x) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu X atau luasan dengan persamaan x = g(y) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu Y Berikut ini gambar luasan positip yang dimaksud.

Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan y = f(x) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu X atau luasan dengan persamaan x = g(y) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu Y. Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.

Also Read:

Baca juga : Aplikasi Integral untuk menentukan Luas dan Volume suatu daerah

Luasan positip dan negative sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasn juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya y_1=f(x) dan y_2=g(x).

Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar luasan dibawah ini

R sebagaimana terlihat pada gambar di atas adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x), x = a, x = b. Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan

Jika luasan terletak di bawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut :

  1. Gambar luasan yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya dan mudah dilihat.
  2. Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu atau sumbu , selanjutnya bagilah luasan dalah bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.
  3. Hampiri luas masing-masing partisi tertentu tersebut dengan menggunakan luas persegi panjang
  4. Jumlahkan luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.
  5. Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang menrupakan luas luasan.

Contoh 1:

Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

Jawab

Gambar segitiga ABC adalah

 

Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus

\frac{y-y_A}{x-x_A}=\frac{y_c-y_A}{x_c-x_A}

Diperoleh persamaan

\frac{y-0}{x-0}=\frac{7-0}{3-0}

3y=7x\text{ atau }y=\frac{7x}{3}

Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan

Jadi, luas segitiga ABC adalah 10,5 Satuan Luas.

Contoh 2 :

Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva

y=4-x^2

dan sumbu-sumbu koordinat.

Jawab

Luasan y=4-x^2 yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah

Tampak pada gambar di atas luasan yang diketahui (R) berada di atas sumbu x sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral yaitu:

Contoh 3:

Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva x=y^2 dan garis x = 4

Dengan cara yang sama luas luasan di atas dinyatakan dengan

Luas Suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu koordinat | Made Astawan | 4.5