Irisan dan Gabungan Himpunan

Irisan

Irisan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B. secara matematis ditulis :

A\cap B=\left\{ x|x\in A\textrm{ dan }x\in B\right\}

Also Read:

Dilihat dari persekutuan dua himpunan, irisan dua himpunan dapat ditentukan:

  • Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Jika A\subseteq B maka A\cap B=A dan berlaku sebaliknya

  • Himpunan yang sama

Jika A = B, maka A\cap B=(A=B)

  • Himpunan yang saling lepas

Jika A // B, maka A\cap B={..} dan berlaku sebaliknya

  • Himpunan yang tidak saling lepas

Contoh Soal 1 # :

Diberikan A = {1, 2, 3, 4}, B ={2, 4, 6, 8}, dan C ={3, 4, 5, 7}. Tentukanlah:

a). A\cap B  c). B\cap C   e). A\cap (B\cap C)

b). A\cap C  d).(A\cap B)\cap C

Jawab:

a. {2, 4}     c. {4}         e. {4}

b. {3, 4}      d. {4}

Contoh Soal 2 # :

Perhatikan gambar dibawah ini!

irisan1.png

Tentukanlah:

a. S       c. A\cap B       e. B\cap C

b. B      d. A\cap C          f. A\cap B\cap C

Jawab:

a. S = {a, b, c, d, e, f, g}    c. A\cap B={a, b}     e. B\cap C={b, f}

b. B = {a, b, d, f}               d. A\cap C={b, e}   f. A\cap B\cap C={b}

 

Gabungan

Gabungan dari A dan B adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada A atau B. secara matematis ditulis: A\cup B=\left\{ x\mid x\in A\textrm{\textrm{ }atau}\textrm{ }x\in B\right\}

Dilihat dari persekutuan dua himpunan, gabungan dua himpunan dapat ditentukan:

    • Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Jika A\subseteq B maka A\cup B=B dan berlaku sebaliknya

    • Himpunan yang sama

Jika A = B, maka A\cup B=(A=B)

    • Himpunan yang saling lepas

Jika A//B, maka A\cup B=\left\{ x\mid x\in A\textrm{\textrm{ }atau}\textrm{ }x\in B\right\} dan berlaku sebaliknya

    • Himpunan yang tidak saling lepas

Jika A\supset\subset B, maka $A\cup B={x\mid x\textrm{ }\in \textrm{ }A\textrm{, }x\textrm{ }\in \textrm{ }B\textrm{ atau }x\textrm{ }\in \textrm{ }(A\cap B)}$

Contoh Soal 1:

Diketahui A = {2, 3, 5}, B ={1, 3, 5, 7}, dan C = {7, 9}, tentukanlah:

  1. A\cup B
  2. A\cup B\cup C
  3. A\cap (B\cup C)
  4. (A\cap B)\cup C
  5. (A\cup B)\cap (A\cup C)(AB) (AC)

Jawab:

  1. A\cup B = {1, 2, 3, 5, 7}
  2. A\cup B\cup C = {1, 2, 3, 5, 7, 9}
  3. A = {2, 3, 5} dan B\cup C = {1, 3, 5, 7, 9} maka A\cap (B\cup C) = {3, 5}
  4. A\cap B = {3, 5} dan C = {7, 9} maka (A\cap B)\cup C = {3, 5, 7, 9}
  5. A\cup B = {1, 2, 3, 5, 7} dan A\cup C = {2, 3, 5, 7, 9} maka (A\cup B)\cap (A\cup C) = {2, 3, 5, 7}

Contoh Soal 2 :

Perhatikan gambar dibawah ini!

irisan 2.png

Tentukanlah:

  1. A\cup B
  2. A\cap (B\cup C)
  3. (B\cap C)\cup A
  4. (A\cup B)\cap (B\cup C)
  5. banyaknya himpunan bagian dari A\cap (B\cup C)

Jawab:

  1. A\cup B = {a, b, c, d, e, f, g}

  2. A = {a, b, c, e} dan B\cup C = {a, b, d, e, f, g} maka A\cap (B\cup C) = {a, b, e}

  3. B\cap C = {b, f} dan A = {a, b, c, e} maka (B\cap C)\cup A = {a, b, c, e, f}

  4. (A\cup B) = {a, b, c, d, e, f} dan (B\cup C) = {a,b,d,e,f,g} maka (A\cup B)\cap (B\cup C) = {a,b,d,e,f}

  5. A\cap (B\cup C) = {a, b, e}, maka n(A\cap (B\cup C = 3 sehingga banyaknya himpunan bagian adalah 2^{3}=8

Komplemen

Jika S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan A = {3, 4, 5}, maka A\subset S. himpunan {1, 2, 6, 7} juga disebut himpunan bagian dari himpunan S. himpunan tersebut adalah himpunan himpunan komplemen atau pelengkap dari himpunan A atau disebut komplemen dari A yang dibaca “bukan A”.

Dalam himpunan komplemen berlaku:

  • A \cap A’={..}
  • A \cup A’= S
  • n(Q) + n(Q’) =n(s)

Komplemen dari S adalah S’, karena S adalah himpunan semesta maka S’ adalah himpunan kosong dan ditulis S’ = {…}, sebaliknya {…}’ = S, sehingga berlaku:

  • {…}’ = S
  • S’ = {…}
  • (A’)’ = A

Selisih Dua Himpunan

Komplemen A terhadap B ditulis B – A adalah himpunan yang ada di B tetapi tidak ada di A, sebaliknya komplemen B terhadap A ditulis A – B adalah himpunan yang di A tetapi tidak ada di B. secara umum berlaku:

  • A-B=\left\{ x\mid x\in A\textrm{ dan }x\notin B\right\}
  • n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)
  • A’ = S – A
  • n ( S – A ) = n(A’) = n(S) – n(S\cap A)
Komentar Pembaca

Irisan dan Gabungan Himpunan | Made Astawan | 4.5
>