Irisan
Irisan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B. secara matematis ditulis :
$latex A\cap B=\left\{ x|x\in A\textrm{ dan }x\in B\right\}$
Dilihat dari persekutuan dua himpunan, irisan dua himpunan dapat ditentukan:
- Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Jika $latex A\subseteq B$ maka $latex A\cap B=A$ dan berlaku sebaliknya
- Himpunan yang sama
Jika A = B, maka $latex A\cap B=(A=B)$
- Himpunan yang saling lepas
Jika A // B, maka $latex A\cap B={..}$ dan berlaku sebaliknya
- Himpunan yang tidak saling lepas
Contoh Soal 1 # :
Diberikan A = {1, 2, 3, 4}, B ={2, 4, 6, 8}, dan C ={3, 4, 5, 7}. Tentukanlah:
$latex \text{a)}.A\cap B$
$latex \text{b)} A\cap C$
$latex \text{c).}B\cap C$
$latex \text{d).}(A\cap B)\cap C$
$latex \text{e)}.A\cap (B\cap C)$
Jawab:
a. {2, 4} c. {4} e. {4}
b. {3, 4} d. {4}
Contoh Soal 2 # :
Perhatikan gambar dibawah ini!
Tentukanlah:
a. S
b. B
$latex \text{c.}A\cap B$
$latex \text{d.}A\cap C$
$latex \text{e.}B\cap C$
$latex \text{f.}A\cap B\cap C$
Jawab:
a. S = {a, b, c, d, e, f, g}
b. B = {a, b, d, f}
$latex \text{c.}A\cap B={a,b}$
$latex \text{d.}A\cap C={b, e}$
$latex \text{e.}B\cap C={b, f}$
$latex \text{f.}A\cap B\cap C={b}$
Baca Juga : Menyelesaikan soal cerita irisan suatu himpunan
Gabungan
Gabungan dari A dan B adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada A atau B. secara matematis ditulis: $latex A\cup B=\left\{ x\mid x\in A\textrm{\textrm{ }atau}\textrm{ }x\in B\right\} $
Dilihat dari persekutuan dua himpunan, gabungan dua himpunan dapat ditentukan:
-
- Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Jika $latex A\subseteq B$ maka $latex A\cup B=B$ dan berlaku sebaliknya
-
- Himpunan yang sama
Jika A = B, maka $latex A\cup B=(A=B)$
-
- Himpunan yang saling lepas
Jika A//B, maka $latex A\cup B=\left\{ x\mid x\in A\textrm{\textrm{ }atau}\textrm{ }x\in B\right\}$ dan berlaku sebaliknya
-
- Himpunan yang tidak saling lepas
Jika $latex A\supset\subset B$, maka $latex A\cup B={x\mid x\textrm{ }\in \textrm{ }A\textrm{, }x\textrm{ }\in \textrm{ }B\textrm{ atau }x\textrm{ }\in \textrm{ }(A\cap B)}$
Contoh Soal 1:
Diketahui A = {2, 3, 5}, B ={1, 3, 5, 7}, dan C = {7, 9}, tentukanlah:
$latex \text{1.}A\cup B$
$latex \text{2.}A\cup B\cup C$
$latex \text{3.}A\cap (B\cup C)$
$latex \text{4.}(A\cap B)\cup C$
$latex \text{5.}(A\cup B)\cap (A\cup C)$
Jawab:
$latex \text{1.}A\cup B={1,2,3,5,7}$
$latex \text{2.}A\cup B\cup C={1,2,3,5,7,9}$
$latex \text{3.}A={2,3,5}\text{ dan }B\cup C={1,3,5,7,9}\text{ maka }A\cap (B\cup C)={3,5}$
$latex \text{4.}A\cap B={3,5}\text{ dan }C={7,9}\text{ maka }(A\cap B)\cup C={3,5,7,9}$
$latex \text{5.}A\cup B={1,2,3,5,7}\text{ dan }A\cup C={2,3,5,7,9}\text{ maka }(A\cup B)\cap (A\cup C)={2,3,5,7}$
Contoh Soal 2 :
Perhatikan gambar dibawah ini!
Tentukanlah:
$latex \text{1.}A\cup B$
$latex \text{2.}A\cap (B\cup C)$
$latex \text{3.}(B\cap C)\cup A$
$latex \text{4.}(A\cup B)\cap (B\cup C)$
$latex \text{5.banyaknya himpunan bagian dari}A\cap (B\cup C)$
Jawab:
$latex \text{1.}A\cup B={a,b,c,d,e,f,g}$
$latex \text{2.}A={a,b,c,e}\text{ dan }B\cup C={a,b,d,e,f,g}\text{ maka }A\cap (B\cup C)={a,b,e}$
$latex \text{3.}B\cap C={b,f}\text{ dan }A={a,b,c,e}\text{ maka }(B\cap C)\cup A={a,b,c,e,f}$
$latex \text{4.}(A\cup B)={a,b,c,d,e,f}\text{ dan }(B\cup C)={a,b,d,e,f,g}\text{ maka }(A\cup B)\cap (B\cup C)={a,b,d,e,f}$
$latex \text{5.}A\cap (B\cup C)={a,b,e},\text{ maka }n(A\cap (B\cup C=3\text{ sehingga banyaknya himpunan bagian adalah }2^{3}=8$
Komplemen
Jika S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan A = {3, 4, 5}, maka
$latex A\subset S$
himpunan {1, 2, 6, 7} juga disebut himpunan bagian dari himpunan S. himpunan tersebut adalah himpunan himpunan komplemen atau pelengkap dari himpunan A atau disebut komplemen dari A yang dibaca “bukan A”.
Dalam himpunan komplemen berlaku:
$latex \text{A}\cap A’={..}$
$latex A\cup A’=S$
n(Q) + n(Q’) =n(s)
Komplemen dari S adalah S’, karena S adalah himpunan semesta maka S’ adalah himpunan kosong dan ditulis S’ = {…}, sebaliknya {…}’ = S, sehingga berlaku:
- {…}’ = S
- S’ = {…}
- (A’)’ = A
Selisih Dua Himpunan
Komplemen A terhadap B ditulis B – A adalah himpunan yang ada di B tetapi tidak ada di A, sebaliknya komplemen B terhadap A ditulis A – B adalah himpunan yang di A tetapi tidak ada di B. secara umum berlaku:
$latex A-B=\left\{ x\mid x\in A\textrm{ dan }x\notin B\right\} $
$latex n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)$
A’ = S – A
$latex n(S-A)=n(A’)=n(S)-n(S\cap A)$
