Hasil kali skalar dua vektor

Hasil kali skalar dua vektor

Misalkan diketahui dua vektor sebarang (vektor di bidang atau vektor di ruang), yaitu vektor a dan vektor b. hasil kali skalar anatara vektor a dan vektor b ditulis dengan notasi a.b (dibaca : a kali titik b). hasil kali skalar vektor a dengan vektor b ditentukan oleh hubungan :

$latex \vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

|a| dan |b| berturut – turut menyatakan panjang vektor a dan panjang vektor b.

$latex \theta$ menyatakan besar sudut lancip yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b. sudut $latex \theta$ seringkali dilambangkan sebagai $latex \angle (\vec{a},\vec{b})$

Contoh 1#:

Panjang vektor a dan vektor bmasing – masing adalah 4 satuan dan 5 satuan. Besar sudut antara vektor a dengan vektor b sama dengan $latex 60^0$. Hitunglah hasil kali skalar antara vektor a dengan vektor b.

Jawab:

Berdasarkan definisi, hasil kali skalar antara vektor a dengan vektor b ditentukan oleh:

$latex \vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|\cos 60^0$

$latex \vec{a}.\vec{b}=4\times 5\times \cos 60^0$

$latex \vec{a}.\vec{b}=4\times 5\times \frac{1}{2}=10$

Jadi, hasil kali skalar antara vektor a dengan vektor b adalah a.b = 10.

Contoh 2#:

Tentukan hasil kali skalar a.b untuk vektor – vektor a = 5i + 2j dan b = 3i – 7j

Jawab:

Untuk menghitung hasil kali skalar soal seperti ini, kita langsung saja kalikan komponen yang sejenis.

a.b = 5.3 + 2.(-7)

a.b = 15 – 14 = 1.

Jadi, hasil kali skalar vektor a.b pada vektor di atas adalah 1.

Contoh 3#:

Diketahui titik A(5,2,1) dan titik B(9,10,13). Titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan 1 : 3. Ruas garis berarah AC mewakili vektor u dan ruas garis berarah CB mewakili vektor v. tentukan koordinat titik C kemudian tentukan vektor u dan v dan hitunglah hasil kali u.v

Jawab:

Titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan 1 : 3 itu berarti AC : CB = 1 : 3 dalam artian m = 1 dan n = 3. Sehingga koordinat titik C (dengan memisalkan koordinat titik C(x,y,z)) bisa kita tentukan dengan ketentuan sebagai berikut:

$latex x=\frac{1.(9)+3.(5)}{1+3}=\frac{24}{4}=6$

$latex y=\frac{1.(10)+3.(2)}{1+3}=\frac{16}{4}=4$

$latex z=\frac{1.(13)+3.(1)}{1+3}=\frac{16}{4}=4$

Berarrti koordinat titik C adalah (6,4,4).

Di dalam soal disebutkan AC mewakili vektor u dan CB mewakili vektor v. berarti kita cari vektor u dan v.

AC = c – a

AC = (6, 4, 4) – ( 5, 2, 1) = (1, 2, 2)

Jadi, vektor u atau ruas garis AC adalah (1, 2, 2).

Kemudian sekarang kita cari CB atau vektor v.

CB = b – c

CB = (9, 10, 13) – (6, 4, 4) = (3, 6, 9)

Jadi, vektor v atau ruas garis CB adalah (3, 6, 9).

Hasil kali u.v adalah :

u.v = (1.3) + (2.6) + (2. 9) = 3 + 12 + 18 = 33.

Jadi, hasil kali skalar antara vektor u dengan vektor v adalah 33.