Garis singgung parabola melalui titik pada parabola

Penulis
Made Astawan
-
0
4371

Pada artikel yang lalu, kita sudah belajar tentang persamaan garis singgung parabola pada suatu kemiringan / gradient tertentu. Pada pembahasan kali ini kita akan membahas tentang persamaan garis singgung pada parabola yang melalui titik di parabola.

Pada parabola yang membuka ke kiri/kanan

Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola di titik (x1, y1) yang terletak pada parabola, pertama kita pandang parabola dalam bentuk y2 = 4px dan rumus persamaan garis singgung .

persamaan garis singgung parabola y2 = 4px dengan kemiringan m adalahy=mx+\frac{p}{m}. Jika titik (x1, y1) merupakan titik singgung garis pada parabola, maka akan berlaku

y_{1}=mx_{1}+\frac{p}{m} ……………………………(1)

Sekarang nilai m akan kita cari dalam bentuk x1, y1 dan c yang mana parameter itu sudah diketahui/diberikan.

Kalikan masing-masing ruas pada persamaan (1) dengan m diperoleh bentuk persamaan kuadrat

x1m2 – y1m + p = 0

yang memberikan penyelesaian untuk m

m=\frac{y_{1}\pm\sqrt{y_{1}^{2}-4x_{1}p}}{2x_{1}} …………………..(2)

Karena titik (x1, y1) juga terletak pada parabola maka juga berlaku hubungan

y12 = 4px1 …………………………………………………(3)

sehingga jika disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh

m=\frac{y_{1}}{2x_{1}} ……………………………………..(4)

Jika nilai m disubstitusikan ke persamaan garis singgung diperoleh

y = mx + \frac{p}{m}

y=\frac{y_{1}}{2x_{1}}\textrm{\ensuremath{{\textstyle x+\frac{2x_{1}p}{y_{1}}}}}

. y_{1}y=\frac{y_{1}}{2{\textstyle x_{1}}}{\textstyle x}+2{\textstyle x_{1}c}

Substitusi nilai y12 = 4px1 ke persamaan di atas diperoleh

y1y = 2p(x + x1)

Jadi jika P(x1, y1) titik pada parabola y2 = 4px, maka persamaan garis singgung parabola di titik P diberikan oleh persamaan

y1y = 4p½(x + x1)  ………………………………………(5)

Misalkan P(x1 , y1) titik pada parabola (y – k)2 = 4p(x – h), maka persamaan garis singgung parabola di titik P dapat dicari dari persamaan (5) dengan mentranslasikan sumbu-sumbu koordinat sedemikian hingga titik asal (0, 0) menjadi titik dengan koordinat (h, k), yaitu dengan substitusi

(y1 – k)(y – k) = 4p(½(x + x1) – h) ……………………………………(6)

Jika parabola dalam bentuk umum Cy2 + Dx + Ey + F = 0, maka persamaan garis singgung parabola yang menyinggung di titik P(x1, y1) dapat dituliskan dalam bentuk:

Cy1y + ½D(x + x1) + ½E(y + y1) + F = 0 ……………………………………………. (7)

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik yang mempunyai ordinat 4.

Jawab:

Kita nyatakan parabola dalam bentuk baku

y2 = 8x

y2 = 4.2x

Dari persamaan di atas terlihat bahwa p = 2 dan puncak parabola di titik (0, 0)

Untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada parabola dengan ordinat 4, kita masukkan y = 4 pada parabola maka diperoleh absis

42 = 8x

x = 2

Jadi titik singgung yang dimaksud adalah (2, 4). Dengan mempergunakan persamaan (5) kita peroleh

4y = 2.2(x + 2)

⇒4y = 4x + 8

⇒x – y + 2 = 0

 Grafik persamaan parabola dan garis singgungnya dapat dilihat pada gambar di bawah !

 

Contoh 2:

Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 – 4y – 8x + 28 = 0 di titik yang mempunyai ordinat 6.

Jawab:

Kita nyatakan parabola dalam bentuk baku

y2 – 4y – 8x + 28 = 0

⇒  y2 – 4y = 8x – 28

⇒  y2 – 4y + 4 = 8x – 28 + 4

⇒   (y – 2)2 = 8x – 24

⇒   (y – 2)2 = 4. 2(x – 3)

Dari persamaan terakhir diperoleh (h, k) = (3, 2) dan c = 2.

Untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada parabola dengan ordinat 6, kita substitusikan y = 6 pada parabola maka diperoleh absis

(6 – 2)2 = 4. 2(x – 3)

x = 5

Jadi titik singgung yang dimaksud adalah (5, 6). Dengan mempergunakan persamaan (6) akan diperoleh

(6 – 2)(y – 2) = 22(x + 5 – 23)

4(y – 2) = 4(x – 1)

4y – 8 = 4x – 4

x – y + 1 = 0

Pada parabola yang membuka ke atas/bawah

Selanjutnya kita perhatikan parabola dalam bentuk x2 = 4py dan rumus persamaan garis singgungnya.

Andaikan titik P(x1, y1) pada parabola x2 = 4py, maka berlaku

x12 = 4py1 ………………………………………………….. (1)

dan dengan mengingat persamaan garis singgung parabola yang mempunyai kemiringan m adalah y = mx – pm2 dan titik P(x1, y1) pada garis singgung, maka berlaku

y1 = mx1 – pm2

pm2 – x1m + y1 = 0 …………………………….(2)

Diperoleh penyelesaian m dalam x1, y1, dan p yaitu

m=\frac{x_{1}\pm\sqrt{x_{1}^{2}-4py_{1}}}{2p}

Dengan mengingat (1) maka

m=\frac{x_{1}}{2p} ………………………………..(3)

Jika nilai m ini disubstitusikan ke persamaan garis singgung diperoleh

y=\frac{x_{1}}{2p}{\textstyle x}-p\left(\frac{x_{1}}{2p}\right)^{2}

4py = 2x1x – x12

Dengan mengingat rumus (1) diperoleh

4py = 2x1x – 4py1

x_{1}x=4p\left(\frac{y+y_{1}}{2}\right) ……………………………(4)

Jika parabola dalam bentuk umum Ax2 + Dx + Ey + F = 0, maka persamaan garis singgung parabola yang menyinggung di titik P(x1, y1) dapat dituliskan dalam bentuk:

Ax1x + ½D(x + x1) + ½E(y + y1) + F = 0 …………………………………. (5)

Contoh 3:

Tentukan persamaan garis singgung parabola y = x2 – 6x + 5 di titik (2, –3).

Jawab:

Persamaan parabola di atas jika dinyatakan dalam bentuk umum akan berbentuk

x2 – 6x – y + 5 = 0

Dengan demikian diketahui bahwa A = 1, D = –6, E = –1, dan F = 5. Diketahui pula x1 = 2, y1 = –3. Jadi menurut persamaan (5) persamaan garis yang dicari adalah

2x – ½ 6(x + 2) – ½ (y – 3) + 5 = 0

2x + y – 1 = 0

BERITA TERKAITDARI PENULIS

Silahkan tuliskan Komentar teman - teman disini.