Garis singgung parabola melalui titik pada parabola

Pada artikel yang lalu, kita sudah belajar tentang persamaan garis singgung parabola pada suatu kemiringan / gradient tertentu. Pada pembahasan kali ini kita akan membahas tentang persamaan garis singgung pada parabola yang melalui titik di parabola.

Pada parabola yang membuka ke kiri/kanan

Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola di titik (x₁, y₁) yang terletak pada parabola, pertama kita pandang parabola dalam bentuk y² = 4px dan rumus persamaan garis singgung .

persamaan garis singgung parabola y² = 4px dengan kemiringan m adalah$latex y=mx+\frac{p}{m}$. Jika titik (x₁, y₁) merupakan titik singgung garis pada parabola, maka akan berlaku

$latex y_{1}=mx_{1}+\frac{p}{m}$ ……………………………(1)

Sekarang nilai m akan kita cari dalam bentuk x₁, y₁ dan c yang mana parameter itu sudah diketahui/diberikan.

Kalikan masing-masing ruas pada persamaan (1) dengan m diperoleh bentuk persamaan kuadrat

x₁m² – y₁m + p = 0

yang memberikan penyelesaian untuk m

$latex m=\frac{y_{1}\pm\sqrt{y_{1}^{2}-4x_{1}p}}{2x_{1}}$ …………………..(2)

Karena titik (x₁, y₁) juga terletak pada parabola maka juga berlaku hubungan

y₁² = 4px₁ …………………………………………………(3)

sehingga jika disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh

$latex m=\frac{y_{1}}{2x_{1}}$ ……………………………………..(4)

Jika nilai m disubstitusikan ke persamaan garis singgung diperoleh

y = mx + $latex \frac{p}{m}$

$latex y=\frac{y_{1}}{2x_{1}}\textrm{\ensuremath{{\textstyle x+\frac{2x_{1}p}{y_{1}}}}}$

. $latex y_{1}y=\frac{y_{1}}{2{\textstyle x_{1}}}{\textstyle x}+2{\textstyle x_{1}c}$

Substitusi nilai y₁² = 4px₁ ke persamaan di atas diperoleh

y₁y = 2p(x + x₁)

Jadi jika P(x₁, y₁) titik pada parabola y² = 4px, maka persamaan garis singgung parabola di titik P diberikan oleh persamaan

y₁y = 4p½(x + x₁)  ………………………………………(5)

Misalkan P(x₁ , y₁) titik pada parabola (y – k)² = 4p(x – h), maka persamaan garis singgung parabola di titik P dapat dicari dari persamaan (5) dengan mentranslasikan sumbu-sumbu koordinat sedemikian hingga titik asal (0, 0) menjadi titik dengan koordinat (h, k), yaitu dengan substitusi

(y₁ – k)(y – k) = 4p(½(x + x₁) – h) ……………………………………(6)

Jika parabola dalam bentuk umum Cy² + Dx + Ey + F = 0, maka persamaan garis singgung parabola yang menyinggung di titik P(x₁, y₁) dapat dituliskan dalam bentuk:

Cy₁y + ½D(x + x₁) + ½E(y + y₁) + F = 0 ……………………………………………. (7)

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis singgung parabola y² = 8x di titik yang mempunyai ordinat 4.

Jawab:

Kita nyatakan parabola dalam bentuk baku

y² = 8x

y² = 4.2x

Dari persamaan di atas terlihat bahwa p = 2 dan puncak parabola di titik (0, 0)

Untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada parabola dengan ordinat 4, kita masukkan y = 4 pada parabola maka diperoleh absis

4² = 8x

x = 2

Jadi titik singgung yang dimaksud adalah (2, 4). Dengan mempergunakan persamaan (5) kita peroleh

4y = 2.2(x + 2)

⇒4y = 4x + 8

⇒x – y + 2 = 0

 Grafik persamaan parabola dan garis singgungnya dapat dilihat pada gambar di bawah !

 

Contoh 2:

Tentukan persamaan garis singgung parabola y² – 4y – 8x + 28 = 0 di titik yang mempunyai ordinat 6.

Jawab:

Kita nyatakan parabola dalam bentuk baku

y² – 4y – 8x + 28 = 0

⇒  y² – 4y = 8x – 28

⇒  y² – 4y + 4 = 8x – 28 + 4

⇒   (y – 2)² = 8x – 24

⇒   (y – 2)² = 4. 2(x – 3)

Dari persamaan terakhir diperoleh (h, k) = (3, 2) dan c = 2.

Untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada parabola dengan ordinat 6, kita substitusikan y = 6 pada parabola maka diperoleh absis

(6 – 2)² = 4. 2(x – 3)

x = 5

Jadi titik singgung yang dimaksud adalah (5, 6). Dengan mempergunakan persamaan (6) akan diperoleh

(6 – 2)(y – 2) = 22(x + 5 – 23)

4(y – 2) = 4(x – 1)

4y – 8 = 4x – 4

x – y + 1 = 0

Pada parabola yang membuka ke atas/bawah

Selanjutnya kita perhatikan parabola dalam bentuk x² = 4py dan rumus persamaan garis singgungnya.

Andaikan titik P(x₁, y₁) pada parabola x² = 4py, maka berlaku

x₁² = 4py_{1 …………………………………………………..} (1)

dan dengan mengingat persamaan garis singgung parabola yang mempunyai kemiringan m adalah y = mx – pm² dan titik P(x₁, y₁) pada garis singgung, maka berlaku

y₁ = mx₁ – pm²

pm² – x₁m + y₁ = 0 …………………………….(2)

Diperoleh penyelesaian m dalam x₁, y₁, dan p yaitu

$latex m=\frac{x_{1}\pm\sqrt{x_{1}^{2}-4py_{1}}}{2p}$

Dengan mengingat (1) maka

$latex m=\frac{x_{1}}{2p}$ ………………………………..(3)

Jika nilai m ini disubstitusikan ke persamaan garis singgung diperoleh

$latex y=\frac{x_{1}}{2p}{\textstyle x}-p\left(\frac{x_{1}}{2p}\right)^{2}$

4py = 2x₁x – x₁²

Dengan mengingat rumus (1) diperoleh

4py = 2x₁x – 4py₁

$latex x_{1}x=4p\left(\frac{y+y_{1}}{2}\right)$ ……………………………(4)

Jika parabola dalam bentuk umum Ax² + Dx + Ey + F = 0, maka persamaan garis singgung parabola yang menyinggung di titik P(x₁, y₁) dapat dituliskan dalam bentuk:

Ax₁x + ½D(x + x₁) + ½E(y + y₁) + F = 0 …………………………………. (5)

Contoh 3:

Tentukan persamaan garis singgung parabola y = x² – 6x + 5 di titik (2, –3).

Jawab:

Persamaan parabola di atas jika dinyatakan dalam bentuk umum akan berbentuk

x² – 6x – y + 5 = 0

Dengan demikian diketahui bahwa A = 1, D = –6, E = –1, dan F = 5. Diketahui pula x₁ = 2, y₁ = –3. Jadi menurut persamaan (5) persamaan garis yang dicari adalah

2x – ½ 6(x + 2) – ½ (y – 3) + 5 = 0

2x + y – 1 = 0