Elips dan Hiperbola

Penulis
Made Astawan
-
0
527

Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.

Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api.

Persamaan Elips

Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0)

Perhatikan gambar di bawah ini !

G1.png

 

Keterangan :

      • Pusat O(0,0)
      • Puncak A1(a, 0) dan A2(-a, 0)
      • Fokus F1(c, 0) dan F2(-c, 0) dengan a2 = b2 + c2
      • Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y
      • Sumbu simetri yang melalui titik fokus F1 dan F2 disebut sumbu utama / sumbu transversal.
      • Sumbu simetri yang tegak lurus sumbu utama disebut sumbu sekawan.
      • Sumbu utama = 2a dan sumbu sekawan = 2b
      • Direktriks : x=\pm\frac{a^{2}}{c}
      • Eksentrisitas : e=\frac{c}{a}

\frac{x^{2}}{b}+\frac{y^{2}}{a}=1 merupakan persamaan elips dengan pusat O(0,0) yang sumbu panjangnya 2b dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.

Persamaan Elips dengan Pusat (\alpha , \beta)

g2.png

Contoh:

Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut ini :

a) 9x2 + 25y2 = 900

b) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0

Jawab:

g3.png

g4.png

Pengertian Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak titik itu terhadap dua buah titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tertentu itu disebut fokus dari hiperbola.

Persamaan Hiperbola

Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0)

Perhatikan gambar berikut ini !

g5.png

 

Keterangan :

      • Pusat O(0,0)
      • Fokus F1(c, 0) dan F2(-c, 0) dengan c2 = a2 + b2
      • Titik puncak A1(a, 0) dan A2(-a, 0), selisih jarak = 2a dengan c > a
      • Persamaan direktriks : x=\pm\frac{a^{2}}{c}
      • Persamaan asymtot ; y=\pm\frac{b}{a}x

\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 merupakan persamaan hiperbola dengan pusat O(0,0) yang sumbu utama pada sumbu Y.

Contoh:

Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui puncaknya P1(-5, 0) dan P2(5, 0) serta fokusnya F1(-8, 0) dan F2(8, 0) !

Jawab:

Puncak (\pm5, 0), maka a = 5

Fokus (\pm8, 0), maka c = 8

b2 = c2 – a2 = 64 -25 = 39

Persamaan hiperbola : \frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{39}=1

Contoh:

Diketahui hiperbola dengan persamaan \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1.

Tentukan :

a) Koordinat puncak d) persamaan garis asymtot

b) Koordinat fokus e) Sketsa grafiknya

c) Persamaan garis direktriks

Jawab:

g10.png

 

Persamaan Hiperbola dengan Pusat (\alpha,\beta)

g7.png

Contoh:

Diketahui hiperbola dengan persamaan dalam bentuk umum sebagai berikut : 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0.

Tentukan :

a) Koordinat titik pusat d) persamaan garis asymtot

b) Koordinat titik focus e) Sketsa grafiknya

c) Koordinat titik puncak

Jawab:

Bentuk persamaan diubah ke dalam bentuk umum :

9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0

9x2 – 18x – 16y2 – 64y = 199

9(x2 – 2x) – 16(y2 + 4y) = 199

9(x – 1)2 – 9 – 16(y + 2)2 + 64 = 199

9(x – 1)2 – 16(y + 2)2 = 199 + 9 – 64

9(x – 1)2 – 16(y + 2)2 = 144

g8.png

g9.png

sebagai latihan soal. soalnya bisa di download di LATIHAN

BERITA TERKAITDARI PENULIS

Silahkan tuliskan Komentar teman - teman disini.