Elips dan Hiperbola

Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.

Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api.

Persamaan Elips

Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0)

Perhatikan gambar di bawah ini !

Keterangan :

• Pusat O(0,0)
• Puncak A₁(a, 0) dan A₂(-a, 0)
• Fokus F₁(c, 0) dan F₂(-c, 0) dengan a² = b² + c²
• Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y
• Sumbu simetri yang melalui titik fokus F₁ dan F₂ disebut sumbu utama / sumbu transversal.
• Sumbu simetri yang tegak lurus sumbu utama disebut sumbu sekawan.
• Sumbu utama = 2a dan sumbu sekawan = 2b
• Direktriks : $x=\pm\frac{a^{2}}{c}$
• Eksentrisitas : $e=\frac{c}{a}$

$\frac{x^{2}}{b}+\frac{y^{2}}{a}=1$ merupakan persamaan elips dengan pusat O(0,0) yang sumbu panjangnya 2b dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.

Persamaan Elips dengan Pusat ((\alpha , \beta))

Contoh:

Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut ini :

a) 9x² + 25y² = 900

b) x² + 4y² – 4x + 24y + 4 = 0

Jawab:

Pengertian Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak titik itu terhadap dua buah titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tertentu itu disebut fokus dari hiperbola.

Persamaan Hiperbola

Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0)

Perhatikan gambar berikut ini !

Keterangan :

• Pusat O(0,0)
• Fokus F₁(c, 0) dan F₂(-c, 0) dengan c² = a² + b²
• Titik puncak A₁(a, 0) dan A₂(-a, 0), selisih jarak = 2a dengan c > a
• Persamaan direktriks : $x=\pm\frac{a^{2}}{c}$
• Persamaan asymtot ; $y=\pm\frac{b}{a}x$

$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$ merupakan persamaan hiperbola dengan pusat O(0,0) yang sumbu utama pada sumbu Y.

Contoh:

Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui puncaknya P₁(-5, 0) dan P₂(5, 0) serta fokusnya F₁(-8, 0) dan F₂(8, 0) !

Jawab:

Puncak ($\pm5$, 0), maka a = 5

Fokus ($\pm8$, 0), maka c = 8

b² = c² – a² = 64 -25 = 39

Persamaan hiperbola : $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{39}=1$

Persamaan Hiperbola dengan Pusat ((\alpha,\beta))

Contoh:

Diketahui hiperbola dengan persamaan dalam bentuk umum sebagai berikut : 9x² – 16y² – 18x – 64y – 199 = 0.

Tentukan :

a) Koordinat titik pusat              d) persamaan garis asymtot

b) Koordinat titik focus              e) Sketsa grafiknya

c) Koordinat titik puncak

Jawab:

Bentuk persamaan diubah ke dalam bentuk umum :

9x² – 16y² – 18x – 64y – 199 = 0

9x² – 18x – 16y² – 64y = 199

9(x² – 2x) – 16(y² + 4y) = 199

9(x – 1)² – 9 – 16(y + 2)² + 64 = 199

9(x – 1)² – 16(y + 2)² = 199 + 9 – 64

9(x – 1)² – 16(y + 2)² = 144

sebagai latihan soal. soalnya bisa di download di LATIHAN