Misalkan a adalah bilangan real dan n bilangan bulat positif. maka bentuk pangkat dari $latex a^{n}$ didefinisikan sebagai perkalian berulang bilangan a sebanyak n faktor. Secara matematis dirumuskan sebagai :
$latex a^{n}=\underset{sebanyak-n-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}$
Contoh :
$latex 2^{5}=\underset{sebanyak-5-faktor}{\underbrace{2\times2\times2\times…\times2}}$ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.
pangkat bilangan Negatif yaitu
$latex a^{-m}=\left(\frac{1}{a}\right)^{m}$
Bagaimana penjelasan dari definisi ini ?. baik sekarang kita perhatikan uraian di bawah ini :
$latex a^{-m}=\left(\frac{1}{a}\right)^{m}=\underset{sebanyak-m-faktor}{\underbrace{\left(\frac{1}{a}\right)x\left(\frac{1}{a}\right)x\left(\frac{1}{a}\right)x…x\left(\frac{1}{a}\right)}}$
$latex a^{-m}=\frac{1}{\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}}$
$latex a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$
Contoh :
Jika x = -2 dan y = 2, Tentukan nilai $latex x^{-3}(y^{4})$.
Jawab :
$latex x^{-3}(y^{4}) = \frac{y^{4}}{x^{3}} = \frac{2^{4}}{(-2)^{3}}=\frac{16}{-8} = -2 $.
Mungkin teman – teman ada yang bingung mengapa $latex x^{-3}$ menjadi penyebut?. kita perhatikan kembali definisi pangkat negatif di atas. yaitu jika suatu bilangan pangkatnya negatif maka bilangan tersebut akan menjadi penyebut dari pengalinya (dalam hal ini pengalinya adalah $latex y^{4}$ dan jika tidak ada pengali kita gunakan 1).
Sifat – sifat bilangan pangkat Positif
Sifat #1 :
Jika a adalah bilangan Real, m dan n bilangan berpangkat maka :
$latex a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
Bukti :
$latex a^{m}\times a^{n}=\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times….\times a}}\times\underset{n-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times….\times a}}$
$latex a^{m}\times a^{n}=\underset{(m+n)-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times….\times a}}$
$latex a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ ………(Terbukti).
Sifat #2 :
jika a bilangan Real dan $latex a\neq0$, maka :
$latex \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
Bukti :
$latex \frac{a^{m}}{a^{n}}=\frac{\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}}{\underset{n-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}}$.
ada 3 kemungkinan nilai m dan n yang mungkin, yaitu :
- Kasus m > n
- jika m dan n bilangan positif dan m > n maka m – n > 0. Dengan demikian
-
$latex \frac{a^{m}}{a^{n}}=\frac{\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}}{\underset{n-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}}=\frac{\underset{n-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}}{\underset{n-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}}\times\underset{\left(m-n\right)faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}$
-
$latex \frac{a^{m}}{a^{n}}=\underset{\left(m-n\right)faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}$
- $latex \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
- Kasus m = n
- Jika m = n, maka $latex \frac{a^{m}}{a^{n}} = 1 = a^{0}$
- Bukti :
- $latex \frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac {a^{m}}{a^{m}}$, sebab m = n.
- $latex \frac{a^{m}}{a^{n}}=\frac{\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}}{\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}}=1=a^{0}$
Sifat #3
Jika a bilangan real dan $latex a\neq0$, m dan n bilangan bulat positif, maka :
$latex \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$
Bukti :
$latex \rightarrow\left(a^{m}\right)^{n}=\underset{n-faktor}{\underbrace{a^{m}\times a^{m}\times a^{m}\times…\times a^{m}}}$
$latex \rightarrow\left(a^{m}\right)^{n}=\underset{n-faktor}{\underbrace{\left(\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}\right)\left(\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}\right)\left(\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}\right)…\left(\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}\right)}}$
$latex \Rightarrow\left(a^{m}\right)^{n}=\left(\underset{(m\times n)-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times…\times a}}\right)$
$latex \Rightarrow \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\times n}$ (Terbukti).
Pangkat Pecahan
Misalkan a bilangan Real dan $latex a\neq0$, m, n bilangan bulat positif didefinisikan sebagai :
$latex a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}$
Sifat #4 :
Misalkan a bilangan real dengan a > 0, $latex \frac{p}{n}$ dan $latex \frac{m}{n}$ adalah bilangan pecahan $latex a\neq0$, maka :
$latex \left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=\left(a\right)^{\frac{m+p}{n}}$
Bukti :
Berdasarkan sifat bilangan pangkat pecahan, jika a bilangan real dan $latex a\neq0$, m , n adalah bilangan bulat positif, maka $latex \left(a^{\frac{m}{n}}\right)=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}$. dengan demikian $latex \left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{p}$
$latex \rightarrow\left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{p}$
$latex \rightarrow \left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=\left(\underset{m-faktor}{\underbrace{a^{\frac{1}{n}}\times a^{\frac{1}{n}}\times a^{\frac{1}{n}}\times…\times a^{\frac{1}{n}}}}\right)\left(\underset{p-faktor}{\underbrace{a^{\frac{1}{n}}\times a^{\frac{1}{n}}\times a^{\frac{1}{n}}\times…\times a^{\frac{1}{n}}}}\right)$
$latex \rightarrow \left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=\left(\underset{(m+p)-faktor}{\underbrace{a^{\frac{1}{n}}\times a^{\frac{1}{n}}\times a^{\frac{1}{n}}\times…\times a^{\frac{1}{n}}}}\right)$
$latex \rightarrow\left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m+p}=\left(a\right)^{\frac{m+p}{n}}$ (Terbukti)
Baiklah biar lebih mantap pemahaman kita tentang pangkat / eksponen ini, kita langsung saja bahas latihan soal. Soal ini saya ambil dari buku paket matematika wajib kurikulum 2013 yang direvisi 2014. Uji Kompetensi 1.4 halaman 16.
- Sederhanakanlah hasil operasi bilangan berpangkat berikut.
- $latex 2^{5} x 2^{9} x 2^{12} = 2^{5 + 9 + 12} = 2^{26}$
- $latex 2^{5} x 3^{6} x 4^{6}$=$latex 2^{5} x 12^{6}$
- $latex \frac{2^{5} x 3^{5} x 4^{2}}{12^{2}} = \frac{2^{5} x 3^{5} x 4^{2}}{3^{2} x 4^{2}} = 2^{5} x 3^{2} = 32 x 9 = 288$
- $latex \frac{\left(-5\right)^{6}\times25^{2}}{125}=\frac{5^{6}\times5^{4}}{5^{3}}=5^{6+4-3}=5^{7}$
- $latex \frac{3^{7}\times7^{3}\times2}{\left(42\right)^{3}}=\frac{3^{7}\times7^{3}\times2}{\left(2\times3\times7\right)^{3}}=\frac{3^{7}\times7^{3}\times2}{2^{3}\times3^{3}\times7^{3}}=\frac{3^{4}}{2^{2}}=\frac{81}{4}$
- Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah bentuk berikut !
-
$latex 2^{3}\times7x^{4}\times\left(3x\right)^{2}=126x^{6}$
-
$latex \left(\frac{-2p}{q}\right)\times\left(-q\right)^{4}\times\frac{2}{5}p^{2}=\frac{-4p^{3}q^{4}}{q}=-4p^{3}q^{3}$
- $latex y^{5}\times\left(x\times y\right)^{3}\left(\frac{1}{x^{2}\times y}\right)$
-
$latex \left(a\times b\times c\right)^{4}\times\frac{3}{\left(b\times c\right)^{3}}\times\frac{b^{3}}{27a^{5}}=\frac{3a^{4}b^{7}c^{4}}{27a^{5}}=\frac{b^{7}c^{4}}{9a}$
-
$latex \frac{-4a^{3}\times2b^{5}}{\left(\frac{8a}{b}\right)}=\frac{\left(-4a^{3}\times2b^{5}\right)b}{8a}=-a^{2}b^{6}$
-
$latex \frac{1}{x^{2}y}\times\frac{2}{3y^{2}}\times\frac{5}{3x}\times\left(4y\right)^{2}=\frac{160y^{2}}{9x^{3}y^{2}}=\frac{160}{9x^{3}}$
-
$latex \left(-a\times b\right)^{3}\times\left(\frac{-b}{2a}\right)^{4}\times\left(\frac{3a}{b}\right)^{5}=\frac{-a^{3}\times b^{3}\times b^{4}\times243a^{5}}{16a^{4}b^{5}}=\frac{-243a^{7}b^{2}}{16}$
-
$latex \left(\frac{24a^{3}\times b^{8}}{6a^{5}\times b}\right)\times\left(\frac{4b^{3}\times a}{2a^{3}}\right)^{2}=\frac{24\times16\times a^{5}b^{14}}{6\times4\times a^{11}b}=\frac{16b^{13}}{a^{6}}$
- $latex \left(\frac{36\left(x\times2y\right)^{2}}{3x\times y^{2}}\right):\left(\frac{12x\left(3y\right)^{2}}{9x^{2}y}\right)^{2}=\left(\frac{36\left(x\times2y\right)^{2}}{3x\times y^{2}}\right)\times\left(\frac{9x^{2}y}{12x\left(3y\right)^{2}}\right)^{2}=\frac{36\times81\times4\times x^{4}y^{4}}{3\times144\times9\times x^{2}y^{4}}=3x^{2}$
-
$latex \left(\frac{\left(-p\right)^{3}\times\left(-q\right)^{2}\times r^{3}}{-3\left(p^{2}q\right)^{3}}\right):\left(\frac{2pqr^{3}}{-12\left(qr\right)^{2}}\right)=\left(\frac{\left(-p\right)^{3}\times\left(-q\right)^{2}\times r^{3}}{-3\left(p^{2}q\right)^{3}}\right)\times\left(\frac{-12\left(qr\right)^{2}}{2pqr^{3}}\right)=\frac{12p^{3}q^{4}r^{5}}{-6p^{7}q^{4}r^{3}}=\frac{-2r^{2}}{p^{4}}$
-
- Hitunglah hasil operasi bilangan berpangkat berikut
-
$latex \left(-\frac{1}{2}\right)^{4}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{16}\times\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{16}\times\frac{1}{9}=\frac{1}{154}$
- $latex \left(-5\right)^{3}\times\left(\frac{1}{15}\right)^{2}\times\left(\frac{10}{3}\right)^{4}\times\left(\frac{9}{5}\right)^{5}=\frac{-5^{3}\times3^{10}\times5^{4}\times2^{4}}{5^{2}\times3^{2}\times3^{4}\times5^{5}}=-3^{4}\times2^{4}=-1296$
-
$latex \frac{3x^{2}\times y^{3}}{24x}\times\left(2y\right)^{2}$ ; untuk x = 2 dan y = 3
- Jawab :
-
$latex \frac{3x^{2}\times y^{3}}{24x}\times\left(2y\right)^{2}=\frac{3\times2^{2}\times3^{3}}{24\times2}=\frac{9}{4}$
- $latex \frac{\left(\frac{2}{3}x\right)^{2}\times\left(\frac{3}{4}\right)\left(-y\right)^{3}}{xy^{2}}$ ; untuk x = $latex \frac{1}{2}$ dan y = $latex \frac{1}{3}$
- Jawab :
-
$latex \frac{\left(\frac{2}{3}x\right)^{2}\times\left(\frac{3}{4}\right)\left(-y\right)^{3}}{xy^{2}}=\frac{\left(\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\right)^{2}\times\left(\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}^{2}}=\frac{\frac{1}{9}\times\frac{3}{4}\times\left(\frac{-1}{27}\right)}{\frac{1}{18}}=\frac{-\frac{1}{36\times9}}{\frac{1}{18}}=-\frac{18}{36\times9}=-\frac{1}{18}$
-
$latex \frac{3p^{2}\times\left(-3\right)^{4}}{\left(-2p\right)^{2}\times\left(-3q\right)^{2}}\times4\left(\frac{q}{p}\right)^{2}$ ; untuk p = 4 dan p = 6.
- Jawab :
-
$latex \frac{3p^{2}\times\left(-3\right)^{4}}{\left(-2p\right)^{2}\times\left(-3q\right)^{2}}\times4\left(\frac{q}{p}\right)^{2}=\frac{3\times4^{2}\times81}{4\times16\times9\times36}\times\frac{36}{16}=3$
-
- Hitunglah
- Sederhanakanlah
- Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut
- Tentukan hasil dari
- Misalkan kamu diminta menghitung $latex 7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang kamu lakukan untuk mendapatkan nilai akhirya ?.
- Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan angka satuan dari $latex 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} $ tanpa menghitung tuntas !