matematika

Eksponen dan Sifat – sifatnya

Penulis

September 21, 2016

Misalkan a adalah bilangan real dan n bilangan bulat positif. maka bentuk pangkat dari $a^{n}$ didefinisikan sebagai perkalian berulang bilangan a sebanyak n faktor. Secara matematis dirumuskan sebagai :

$a^{n}=\underset{sebanyak-n-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}$

Contoh :

$2^{5}=\underset{sebanyak-5-faktor}{\underbrace{2\times2\times2\times...\times2}}$ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.

pangkat bilangan Negatif yaitu

$a^{-m}=\left(\frac{1}{a}\right)^{m}$

Bagaimana penjelasan dari definisi ini ?. baik sekarang kita perhatikan uraian di bawah ini :

$a^{-m}=\left(\frac{1}{a}\right)^{m}=\underset{sebanyak-m-faktor}{\underbrace{\left(\frac{1}{a}\right)x\left(\frac{1}{a}\right)x\left(\frac{1}{a}\right)x...x\left(\frac{1}{a}\right)}}$

$a^{-m}=\frac{1}{\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}}$

$a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$

Contoh :

Jika x = -2 dan y = 2, Tentukan nilai $x^{-3}(y^{4})$ .

Jawab :

$x^{-3}(y^{4}) = \frac{y^{4}}{x^{3}} = \frac{2^{4}}{(-2)^{3}}=\frac{16}{-8} = -2$ .

Mungkin teman – teman ada yang bingung mengapa $x^{-3}$ menjadi penyebut?. kita perhatikan kembali definisi pangkat negatif di atas. yaitu jika suatu bilangan pangkatnya negatif maka bilangan tersebut akan menjadi penyebut dari pengalinya (dalam hal ini pengalinya adalah $y^{4}$ dan jika tidak ada pengali kita gunakan 1).

Sifat – sifat bilangan pangkat Positif

Sifat #1 :

Jika a adalah bilangan Real, m dan n bilangan berpangkat maka :

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$

Bukti :

$a^{m}\times a^{n}=\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times....\times a}}\times\underset{n-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times....\times a}}$

$a^{m}\times a^{n}=\underset{(m+n)-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times....\times a}}$

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ ………(Terbukti).

Sifat #2 :

jika a bilangan Real dan $a\neq0$ , maka :

$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$

Bukti :

$\frac{a^{m}}{a^{n}}=\frac{\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}}{\underset{n-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}}$ .

ada 3 kemungkinan nilai m dan n yang mungkin, yaitu :

Kasus m > n
- jika m dan n bilangan positif dan m > n maka m – n > 0. Dengan demikian
- $\frac{a^{m}}{a^{n}}=\frac{\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}}{\underset{n-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}}=\frac{\underset{n-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}}{\underset{n-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}}\times\underset{\left(m-n\right)faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}$
- $\frac{a^{m}}{a^{n}}=\underset{\left(m-n\right)faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}$
- $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
Kasus m = n
- Jika m = n, maka $\frac{a^{m}}{a^{n}} = 1 = a^{0}$
- Bukti :
- $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac {a^{m}}{a^{m}}$ , sebab m = n.
- $\frac{a^{m}}{a^{n}}=\frac{\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}}{\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}}=1=a^{0}$

Sifat #3

Jika a bilangan real dan $a\neq0$ , m dan n bilangan bulat positif, maka :

$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$

Bukti :

$\rightarrow\left(a^{m}\right)^{n}=\underset{n-faktor}{\underbrace{a^{m}\times a^{m}\times a^{m}\times...\times a^{m}}}$

$\rightarrow\left(a^{m}\right)^{n}=\underset{n-faktor}{\underbrace{\left(\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}\right)\left(\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}\right)\left(\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}\right)...\left(\underset{m-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}\right)}}$

$\Rightarrow\left(a^{m}\right)^{n}=\left(\underset{(m\times n)-faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}}\right)$

$\Rightarrow \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\times n}$ (Terbukti).

Pangkat Pecahan

Misalkan a bilangan Real dan $a\neq0$ , m, n bilangan bulat positif didefinisikan sebagai :

$a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}$

Sifat #4 :

Misalkan a bilangan real dengan a > 0, $\frac{p}{n}$ dan $\frac{m}{n}$ adalah bilangan pecahan $a\neq0$ , maka :

$\left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=\left(a\right)^{\frac{m+p}{n}}$

Bukti :

Berdasarkan sifat bilangan pangkat pecahan, jika a bilangan real dan $a\neq0$ , m , n adalah bilangan bulat positif, maka $\left(a^{\frac{m}{n}}\right)=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}$ . dengan demikian $\left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{p}$

$\rightarrow\left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{p}$

$\rightarrow \left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=\left(\underset{m-faktor}{\underbrace{a^{\frac{1}{n}}\times a^{\frac{1}{n}}\times a^{\frac{1}{n}}\times...\times a^{\frac{1}{n}}}}\right)\left(\underset{p-faktor}{\underbrace{a^{\frac{1}{n}}\times a^{\frac{1}{n}}\times a^{\frac{1}{n}}\times...\times a^{\frac{1}{n}}}}\right)$

$\rightarrow \left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=\left(\underset{(m+p)-faktor}{\underbrace{a^{\frac{1}{n}}\times a^{\frac{1}{n}}\times a^{\frac{1}{n}}\times...\times a^{\frac{1}{n}}}}\right)$

$\rightarrow\left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m+p}=\left(a\right)^{\frac{m+p}{n}}$ (Terbukti)

Baiklah biar lebih mantap pemahaman kita tentang pangkat / eksponen ini, kita langsung saja bahas latihan soal. Soal ini saya ambil dari buku paket matematika wajib kurikulum 2013 yang direvisi 2014. Uji Kompetensi 1.4 halaman 16.

Sederhanakanlah hasil operasi bilangan berpangkat berikut.
1. $2^{5} x 2^{9} x 2^{12} = 2^{5 + 9 + 12} = 2^{26}$
2. $2^{5} x 3^{6} x 4^{6}$ = $2^{5} x 12^{6}$
3. $\frac{2^{5} x 3^{5} x 4^{2}}{12^{2}} = \frac{2^{5} x 3^{5} x 4^{2}}{3^{2} x 4^{2}} = 2^{5} x 3^{2} = 32 x 9 = 288$
4. $\frac{\left(-5\right)^{6}\times25^{2}}{125}=\frac{5^{6}\times5^{4}}{5^{3}}=5^{6+4-3}=5^{7}$
5. $\frac{3^{7}\times7^{3}\times2}{\left(42\right)^{3}}=\frac{3^{7}\times7^{3}\times2}{\left(2\times3\times7\right)^{3}}=\frac{3^{7}\times7^{3}\times2}{2^{3}\times3^{3}\times7^{3}}=\frac{3^{4}}{2^{2}}=\frac{81}{4}$
Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah bentuk berikut !
1. $2^{3}\times7x^{4}\times\left(3x\right)^{2}=126x^{6}$
2. $\left(\frac{-2p}{q}\right)\times\left(-q\right)^{4}\times\frac{2}{5}p^{2}=\frac{-4p^{3}q^{4}}{q}=-4p^{3}q^{3}$
3. $y^{5}\times\left(x\times y\right)^{3}\left(\frac{1}{x^{2}\times y}\right)$
4. $\left(a\times b\times c\right)^{4}\times\frac{3}{\left(b\times c\right)^{3}}\times\frac{b^{3}}{27a^{5}}=\frac{3a^{4}b^{7}c^{4}}{27a^{5}}=\frac{b^{7}c^{4}}{9a}$
5. $\frac{-4a^{3}\times2b^{5}}{\left(\frac{8a}{b}\right)}=\frac{\left(-4a^{3}\times2b^{5}\right)b}{8a}=-a^{2}b^{6}$
6. $\frac{1}{x^{2}y}\times\frac{2}{3y^{2}}\times\frac{5}{3x}\times\left(4y\right)^{2}=\frac{160y^{2}}{9x^{3}y^{2}}=\frac{160}{9x^{3}}$
7. $\left(-a\times b\right)^{3}\times\left(\frac{-b}{2a}\right)^{4}\times\left(\frac{3a}{b}\right)^{5}=\frac{-a^{3}\times b^{3}\times b^{4}\times243a^{5}}{16a^{4}b^{5}}=\frac{-243a^{7}b^{2}}{16}$
8. $\left(\frac{24a^{3}\times b^{8}}{6a^{5}\times b}\right)\times\left(\frac{4b^{3}\times a}{2a^{3}}\right)^{2}=\frac{24\times16\times a^{5}b^{14}}{6\times4\times a^{11}b}=\frac{16b^{13}}{a^{6}}$
9. $\left(\frac{36\left(x\times2y\right)^{2}}{3x\times y^{2}}\right):\left(\frac{12x\left(3y\right)^{2}}{9x^{2}y}\right)^{2}=\left(\frac{36\left(x\times2y\right)^{2}}{3x\times y^{2}}\right)\times\left(\frac{9x^{2}y}{12x\left(3y\right)^{2}}\right)^{2}=\frac{36\times81\times4\times x^{4}y^{4}}{3\times144\times9\times x^{2}y^{4}}=3x^{2}$
10. $\left(\frac{\left(-p\right)^{3}\times\left(-q\right)^{2}\times r^{3}}{-3\left(p^{2}q\right)^{3}}\right):\left(\frac{2pqr^{3}}{-12\left(qr\right)^{2}}\right)=\left(\frac{\left(-p\right)^{3}\times\left(-q\right)^{2}\times r^{3}}{-3\left(p^{2}q\right)^{3}}\right)\times\left(\frac{-12\left(qr\right)^{2}}{2pqr^{3}}\right)=\frac{12p^{3}q^{4}r^{5}}{-6p^{7}q^{4}r^{3}}=\frac{-2r^{2}}{p^{4}}$
Hitunglah hasil operasi bilangan berpangkat berikut
1. $\left(-\frac{1}{2}\right)^{4}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{16}\times\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{16}\times\frac{1}{9}=\frac{1}{154}$
2. $\left(-5\right)^{3}\times\left(\frac{1}{15}\right)^{2}\times\left(\frac{10}{3}\right)^{4}\times\left(\frac{9}{5}\right)^{5}=\frac{-5^{3}\times3^{10}\times5^{4}\times2^{4}}{5^{2}\times3^{2}\times3^{4}\times5^{5}}=-3^{4}\times2^{4}=-1296$
3. $\frac{3x^{2}\times y^{3}}{24x}\times\left(2y\right)^{2}$ ; untuk x = 2 dan y = 3
  - Jawab :
  - $\frac{3x^{2}\times y^{3}}{24x}\times\left(2y\right)^{2}=\frac{3\times2^{2}\times3^{3}}{24\times2}=\frac{9}{4}$
4. ; untuk x = $\frac{1}{2}$ dan y =
  - Jawab :
  - $\frac{\left(\frac{2}{3}x\right)^{2}\times\left(\frac{3}{4}\right)\left(-y\right)^{3}}{xy^{2}}=\frac{\left(\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\right)^{2}\times\left(\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}^{2}}=\frac{\frac{1}{9}\times\frac{3}{4}\times\left(\frac{-1}{27}\right)}{\frac{1}{18}}=\frac{-\frac{1}{36\times9}}{\frac{1}{18}}=-\frac{18}{36\times9}=-\frac{1}{18}$
5. $\frac{3p^{2}\times\left(-3\right)^{4}}{\left(-2p\right)^{2}\times\left(-3q\right)^{2}}\times4\left(\frac{q}{p}\right)^{2}$ ; untuk p = 4 dan p = 6.
  - Jawab :
  - $\frac{3p^{2}\times\left(-3\right)^{4}}{\left(-2p\right)^{2}\times\left(-3q\right)^{2}}\times4\left(\frac{q}{p}\right)^{2}=\frac{3\times4^{2}\times81}{4\times16\times9\times36}\times\frac{36}{16}=3$
Hitunglah
Sederhanakanlah
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut
Tentukan hasil dari
Misalkan kamu diminta menghitung $7^{64}$ . Berapa banyak perkalian yang kamu lakukan untuk mendapatkan nilai akhirya ?.
Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan angka satuan dari $7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas !