Contoh soal pembuktian identitas perkalian trigonometri

1
3192

Membuktikan identitas trigonometri adalah perkara yang bisa dibilang gampang – gampang sulit. Bisa dibilang gampang, saat kita mengerti dan paham dengan semua identitas trigonometri. Dan akan menjadi hal tersulit dalam pelajaran matematika, jika kita sama sekali belum paham tentang perkalian trigonometri.

Khususnya dalam pembahasan ini, saya hanya fokus dengan pembahasan soal – soal pembuktian trigonometri yang ada kaitannya dengan identitas perkalian trigonometri. Untuk bisa membuktikan identitas perkalian trigonometri ada beberapa identitas mendasar yang mesti kita paham, yaitu:

Rumus perkalian sinus dan kosinus

$latex \sin \alpha \cdot \cos \beta =\frac{1}{2}\left \{\sin \left ( \alpha +\beta \right)+\sin \left (\alpha -\beta \right)\right \}$

$latex \cos \alpha \cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\left \{ \sin \left ( \alpha +\beta \right )-\sin \left ( \alpha -\beta \right ) \right \}$

$latex \cos \alpha \cdot \cos \beta =\frac{1}{2}\left \{ \cos \left ( \alpha +\beta \right )+\cos \left ( \alpha -\beta \right ) \right \}$

$latex \sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\left \{ -\cos \left ( \alpha +\beta \right )+\cos \left ( \alpha -\beta \right ) \right \}$

Soal 1#:

Buktikan identitas trigonometri berikut :

$latex 1-\cos 5\theta \cdot \cos 3\theta -\sin 5\theta \cdot \sin 3\theta =2\sin^{2}\theta$

Bukti:

Untuk bisa membuktikan soal seperti ini, identitas awal yang harus kita ingat adalah

$latex \cos \alpha \cdot \cos \beta =\frac{1}{2}\left \{ \cos \left ( \alpha +\beta \right )+\cos \left ( \alpha -\beta \right ) \right \}$ dan

$latex \sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\left \{ -\cos \left ( \alpha +\beta \right )+\cos \left ( \alpha -\beta \right ) \right \}$

Sehingga :

$latex 1-\cos 5\theta \cdot \cos 3\theta -\sin 5\theta \cdot \sin 3\theta =1-\left \{ \frac{1}{2}\left ( \cos (5\theta +3\theta ) +\cos (5\theta -3\theta)\right ) \right \}-\frac{1}{2}\left ( -\cos (5\theta +3\theta)+\cos (5\theta -3\theta) \right )$

Ini akan sama dengan

$latex 1-\cos 5\theta \cdot \cos 3\theta -\sin 5\theta \cdot \sin 3\theta=1-\left \{ \frac{1}{2}\cos 8\theta +\cos 2\theta \right \}-\left \{ \frac{1}{2}\left ( -\cos 8\theta +\cos 2\theta \right ) \right \}$

Semua komponen dikeluarkan dari dalam kurung

$latex 1-\cos 5\theta \cdot \cos 3\theta -\sin 5\theta \cdot \sin 3\theta=1-\frac{1}{2}\cos 8\theta -\frac{1}{2}\cos 2\theta +\frac{1}{2}\cos 8\theta -\frac{1}{2}\cos 2\theta$

Dari persamaan ini terlihat bahwa nilai $\frac{1}{2}\cos 8\theta$ saling meniadakan. Sehingga bentuknya menjadi seperti di bawah ini:

$latex 1-\cos 5\theta \cdot \cos 3\theta -\sin 5\theta \cdot \sin 3\theta=1-\cos 2\theta$

Nilai $latex \cos 2\theta$ ini selanjutnya kita uraikan:

$latex 1-\cos 2\theta=1-\cos (\theta +\theta$

$latex 1-\cos 2\theta=1-(cos ^2\theta -\sin ^2\theta$

$latex 1-\cos 2\theta=1-(1-\sin ^2\theta -\sin ^2\theta$

$latex 1-\cos 2\theta=1-1+2\sin ^2\theta$

$latex 1-\cos 2\theta=2\sin ^2\theta$

Jadi, memang benar terbukti bahwa $latex 1-\cos 5\theta \cdot \cos 3\theta -\sin 5\theta \cdot \sin 3\theta=2\sin ^2\theta$

Soal 2# :

Buktikan bahwa

$latex 2\cos \theta \cdot \sin 3\theta =\sin 2\theta \left ( 2\cos 2\theta +1 \right )$

Bukti :

Dari ruas kiri soal ini, terlihat bahwa soal ini bisa kita selesaikan dengan menggunakan sifat – sifat identitas perkalian yang nomor 2 -dibagian awal pembahasan ini. Sehingga dengan menggunakan rumus ini kita bisa ubah sebelah kiri seperti di bawah ini:

$latex 2\cos \theta \cdot \sin 3\theta =\sin 4\theta -\sin(-2\theta)$

$latex 2\cos \theta \cdot \sin 3\theta =\sin 4\theta +\sin 2\theta$

Nilai $\sin 4\theta$ ini kita ubah menjadi bentuk $\sin (2\theta +2\theta)$, sehingga menjadi :

$latex 2\cos \theta \cdot \sin 3\theta =\sin \left ( 2\theta +2\theta \right )+\sin 2\theta$

$latex 2\cos \theta \cdot \sin 3\theta =2\sin 2\theta \cos 2\theta +\sin 2\theta$

Selanjutnya $\sin 2\theta$ kita keluarkan

$latex 2\cos \theta \cdot \sin 3\theta =\sin 2\theta \left ( 2\cos 2\theta +1 \right )$

Dengan demikian persamaan pada soal di atas terbukti atau bisa kita buktikan.

Baca Juga : Rumus trigonometri untuk sudut ganda

Demikian pembahasan saya mengenai pembahasan soal-soal pembuktian identitas perkalian trigonometri. Semoga bermanfaat. Jika teman – teman ada masukan ada pertanyaan, bisa tuliskan melalui kolom komentar.

1 KOMENTAR

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here