Contoh soal membuktikan identitas penjumlahan dan pengurangan trigonometri

Diposting pada

Pada pembahasan tentang rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri, kita sudah membahas mengenai bagaimana cara menurunkan identitas dari penjumlahan dan pengurangan trigonometri.

Di pembahasan ini, kita langsung fokus ke soal – soal pembuktian dari setiap identitas yang diberikan. Tentunya identitas yang dimaksud terbatas hanya pada penjumlahan dan pengurangan trigonometri. Jadi kalau teman – teman sudah lupa dengan rumusnya bisa buka kembali artikel saya di sini.

Soal 1#:

Buktikan identitas $\frac{\sin 7\theta-\sin 5\theta}{\cos 7\theta+\cos 5\theta}=\tan \theta$

Bukti:

Untuk membuktikan identitas ini kita ingat kembali tentang rumus – rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri. Karena bentuk soal ini berbentuk pecahan, maka kita menyelesaikan identitas ini di semua bagian yaitu pembilang dan penyebut.

$\frac{\sin \theta -\sin 5\theta}{\cos 7\theta +\cos 5\theta}=\frac{2\cos \frac{1}{2}(7\theta +5\theta )\cdot \sin \frac{1}{2}(7\theta -5\theta )}{2\cos \frac{1}{2}(7\theta +5\theta )\cdot \cos \frac{1}{2}(7\theta -5\theta )}$

$\frac{\sin \theta -\sin 5\theta}{\cos 7\theta +\cos 5\theta}=\frac{2\cos \frac{1}{2}\cdot 12\theta \cdot \sin \frac{1}{2}\cdot 2\theta}{2\cos \frac{1}{2}\cdot 12\theta \cdot \cos \frac{1}{2}\cdot 2\theta}$

Kemudian kita selesaikan nilai yang ada didalam kurung, untuk selanjutnya dikalikan dengan setengah, sehingga:

$\frac{\sin \theta -\sin 5\theta}{\cos 7\theta +\cos 5\theta}=\frac{\cos 6\theta \cdot \sin \theta}{\cos 6\theta \cdot \cos \theta}$

Terlihat antara pembilang dan penyebut terdapat besaran yang sama yaitu $\cos 6\theta$, nilai inilah yang bisa kita coret atau hilangkan. Dan yang masih adalah nilai sin per cos, dan ini kita sederhanakan menjadi tangen.

$\frac{\sin \theta -\sin 5\theta}{\cos 7\theta +\cos 5\theta}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta$ (Terbukti).

Baca Juga : Contoh soal pembuktian identitas perkalian trigonometri

Soal 2#:

Buktikan bahwa $\frac{\cos 6\theta-\cos 4\theta}{\sin 6\theta+\sin 4\theta}=-\tan \theta$

Bukti:

$\frac{\cos 6\theta-\cos 4\theta}{\sin 6\theta+\sin 4\theta}=\frac{-2\sin \frac{1}{2}(6\theta +4\theta )\cdot \sin \frac{1}{2}(6\theta -4\theta)} {2\sin \frac{1}{2}(6\theta +4\theta )\cdot \cos \frac{1}{2}(6\theta -4\theta)}$

$\frac{\cos 6\theta-\cos 4\theta}{\sin 6\theta+\sin 4\theta}=\frac{-\sin 5\theta \cdot \sin \theta}{\sin 5\theta \cdot \cos \theta }$

$\frac{\cos 6\theta-\cos 4\theta}{\sin 6\theta+\sin 4\theta}=\frac{-\sin \theta}{\cos \theta}=-\tan \theta$ (Terbukti).

Soal 3#:

Buktikanlah identitas $\frac{\sin \theta +\sin 3\theta}{\cos \theta +\cos 3\theta }=\tan 2\theta$

Bukti :

$\frac{\sin \theta +\sin 3\theta}{\cos \theta +\cos 3\theta }=\frac{2\sin \frac{1}{2}(\theta +3\theta )\cdot \cos \frac{1}{2}(\theta -3\theta )}{ 2\cos \frac{1}{2}(\theta +3\theta )\cdot \cos \frac{1}{2}(\theta -3\theta )}$

$\frac{\sin \theta +\sin 3\theta}{\cos \theta +\cos 3\theta }=\frac{2\sin 2\theta \cdot \cos -\theta}{ 2\cos 2\theta \cdot \cos -\theta}$

$\frac{\sin \theta +\sin 3\theta}{\cos \theta +\cos 3\theta }=\frac{sin 2\theta }{\cos 2\theta }=\tan 2\theta$ ( Terbukti).

Demikian pembahasan soal singkat saya mengenai cara membuktikan identitas trigonometri yang berhubungan dengan penjumlahan dan pengurangan trigonometri. Semoga ada manfaatnya bagi teman – teman semuanya.

Gambar Gravatar
Pengajar mata pelajaran matematika, fisika, dan kimia tingkat SMP dan SMA di kota denpasar. Melayani juga bimbingan online untuk ketiga pelajaran ini. Informasi lebih lanjut hubungi : Made Astawan Wa / sms : 085237393742 Email :[email protected]

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.