Contoh soal membuktikan identitas penjumlahan dan pengurangan trigonometri

0
62

Pada pembahasan tentang rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri, kita sudah membahas mengenai bagaimana cara menurunkan identitas dari penjumlahan dan pengurangan trigonometri.

Di pembahasan ini, kita langsung fokus ke soal – soal pembuktian dari setiap identitas yang diberikan. Tentunya identitas yang dimaksud terbatas hanya pada penjumlahan dan pengurangan trigonometri. Jadi kalau teman – teman sudah lupa dengan rumusnya bisa buka kembali artikel saya di sini.

Soal 1#:

Buktikan identitas $\frac{\sin 7\theta-\sin 5\theta}{\cos 7\theta+\cos 5\theta}=\tan \theta$

Bukti:

Untuk membuktikan identitas ini kita ingat kembali tentang rumus – rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri. Karena bentuk soal ini berbentuk pecahan, maka kita menyelesaikan identitas ini di semua bagian yaitu pembilang dan penyebut.

$\frac{\sin \theta -\sin 5\theta}{\cos 7\theta +\cos 5\theta}=\frac{2\cos \frac{1}{2}(7\theta +5\theta )\cdot \sin \frac{1}{2}(7\theta -5\theta )}{2\cos \frac{1}{2}(7\theta +5\theta )\cdot \cos \frac{1}{2}(7\theta -5\theta )}$

$\frac{\sin \theta -\sin 5\theta}{\cos 7\theta +\cos 5\theta}=\frac{2\cos \frac{1}{2}\cdot 12\theta \cdot \sin \frac{1}{2}\cdot 2\theta}{2\cos \frac{1}{2}\cdot 12\theta \cdot \cos \frac{1}{2}\cdot 2\theta}$

Kemudian kita selesaikan nilai yang ada didalam kurung, untuk selanjutnya dikalikan dengan setengah, sehingga:

$\frac{\sin \theta -\sin 5\theta}{\cos 7\theta +\cos 5\theta}=\frac{\cos 6\theta \cdot \sin \theta}{\cos 6\theta \cdot \cos \theta}$

Terlihat antara pembilang dan penyebut terdapat besaran yang sama yaitu $\cos 6\theta$, nilai inilah yang bisa kita coret atau hilangkan. Dan yang masih adalah nilai sin per cos, dan ini kita sederhanakan menjadi tangen.

$\frac{\sin \theta -\sin 5\theta}{\cos 7\theta +\cos 5\theta}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta$ (Terbukti).

Baca Juga : Contoh soal pembuktian identitas perkalian trigonometri

Soal 2#:

Buktikan bahwa $\frac{\cos 6\theta-\cos 4\theta}{\sin 6\theta+\sin 4\theta}=-\tan \theta$

Bukti:

$\frac{\cos 6\theta-\cos 4\theta}{\sin 6\theta+\sin 4\theta}=\frac{-2\sin \frac{1}{2}(6\theta +4\theta )\cdot \sin \frac{1}{2}(6\theta -4\theta)} {2\sin \frac{1}{2}(6\theta +4\theta )\cdot \cos \frac{1}{2}(6\theta -4\theta)}$

$\frac{\cos 6\theta-\cos 4\theta}{\sin 6\theta+\sin 4\theta}=\frac{-\sin 5\theta \cdot \sin \theta}{\sin 5\theta \cdot \cos \theta }$

$\frac{\cos 6\theta-\cos 4\theta}{\sin 6\theta+\sin 4\theta}=\frac{-\sin \theta}{\cos \theta}=-\tan \theta$ (Terbukti).

Soal 3#:

Buktikanlah identitas $\frac{\sin \theta +\sin 3\theta}{\cos \theta +\cos 3\theta }=\tan 2\theta$

Bukti :

$\frac{\sin \theta +\sin 3\theta}{\cos \theta +\cos 3\theta }=\frac{2\sin \frac{1}{2}(\theta +3\theta )\cdot \cos \frac{1}{2}(\theta -3\theta )}{ 2\cos \frac{1}{2}(\theta +3\theta )\cdot \cos \frac{1}{2}(\theta -3\theta )}$

$\frac{\sin \theta +\sin 3\theta}{\cos \theta +\cos 3\theta }=\frac{2\sin 2\theta \cdot \cos -\theta}{ 2\cos 2\theta \cdot \cos -\theta}$

$\frac{\sin \theta +\sin 3\theta}{\cos \theta +\cos 3\theta }=\frac{sin 2\theta }{\cos 2\theta }=\tan 2\theta$ ( Terbukti).

Demikian pembahasan soal singkat saya mengenai cara membuktikan identitas trigonometri yang berhubungan dengan penjumlahan dan pengurangan trigonometri. Semoga ada manfaatnya bagi teman – teman semuanya.

Silahkan tuliskan Komentar teman - teman disini.