Cara Praktis menyelesaikan soal limit Trigonometri

0
48

Trigonometri adalah materi atau pelajaran yang selalu menjadi momok dalam matematika. Terlebih jika materi trigonometri dalam soal limit. Hmmm… bisa dibayangkan.limit sudah lumayan sulit, trigonometri sulit. Keduanya bercampur, betapa hal ini membuat kita kewalahan mengerjakan soal limit trigometri.

Dalam pembahasan ini, saya tidak akan membahas tentang cara teoritis penyelesaian limit trigonometri yang lumayan panjang dan membutuhkan waktu yang lama. Saya akan mencoba membahas tentang bagaimana cara menyelesaikan soal-soal tentang limit trigonometri dengan cara yang relatif singkat atau bahkan sebisa mungkin sesingkat-singkatnya.

Ada dua hal yang harus kita ingat ketika mengerjakan soal-soal limit trigonometri yang diambil dari deret Maclaurin. Disini saya tidak terlalu jauh bahas mengenai deret maclaurin. Saya hanya perlihatkan sepanjang keperluan soal – soal limit yang akan kita bahas. Pembahasan penurunan deret maclaurin nanti kita akan bahas dalam pembahasan tersendiri.

Dua hal yang saya maksudkan adalah Tipe 1 dan Tipe 2 (setidaknya penamaan ini, menurut saya pribadi saja).

Tipe 1 ini adalah jika dalam soal kita ketemu dengan besaran trigonometri, maka kita ganti sesuai dengan ketentuan di bawah ini:

  • Sin x kita ganti saja menjadi x
  • Sin ax kita ganti saja menjadi ax (contohnya sin 2x menjadi 2x saja, sin (x – 2) kita ganti menjadi (x – 2).
  • Cos x kita ganti menjadi 1.
  • Cos ax kita ganti menjadi 1.
  • Tan x kita ganti saja menjadi x.
  • Tan ax kita ganti menjadi ax saja.

Jika dalam penggantian ini, nilai limit yang didapat menghasilkan nilai \frac{0}{0}, maka kita substitusi besaran trigonometri dalam limit dengan Tipe 2.

Tipe 2 akan kita pakai jika substitusi untuk tipe 1 menghasilkan nilai yang dihindari oleh limit yaitu nol per nol.

  • \sin x=x-\frac{x^3}{6}
  • \sin ax=ax-\frac{(ax)^3}{6}
  • \cos x=1-\frac{x^2}{2}
  • \cos ax=1-\frac{(ax)^2}{2}
  • \tan x=x+\frac{x^3}{3}
  • \tan ax=ax+\frac{(ax)^3}{3}

Akan sulit kalau matematika hanya dilihat dari teorinya saja. Kita langsung saja lihat soal- soal di bawah ini.

Soal #:

Tentukanlah nilai dari :

\lim_{x\to -2}\frac{1-\cos (x+2)}{x^2+4x+4}

Jawab :

Biasanya untuk menjawab soal ini kita harus menguraikan fungsi trigonometri dan aljabar, kemudian kita selesaikan sesuai dengan kaidah limit dalam trigonometri. Dan untuk fungsi trigonmetri yang rumit atau kompleks akan memerlukan waktu yang relatif lama. Kita jawab saja dengan memakai tipe 1 atau 2 yang sudah kita bahas di atas.

Perhatikan jika soal di atas kita masukkan tipe 1, maka nilai limitnya menjadi nol per nol. Silahkan teman – teman coba (dengan mengganti nilai cos (x + 2) dengan 1). Berarti nilai cos (x + 2) kita ganti dengan ketentuan di tipe 2 yaitu :

\cos (x+2)\text{ kita ganti menjadi}1-\frac{(x+2)^2}{2}

Sehingga:

\lim_{x\to -2}\frac{1-\cos (x+2)}{x^2+4x+4}=\lim_{x_\to -2}\frac{1-\frac{(x+2)^2}{2}}{x^2+4x+4}

Dengan menguraikan kita dapatkan :

\lim_{x_\to -2}\frac{1-(1-\frac{(x+2)(x+2)}{2})}{(x+2)(x+2)}

\lim_{x_\to -2}\frac{1-1+(x+2)(x+2)}{2(x+2)(x+2)}

\lim_{x_\to -2}\frac{(x+2)(x+2)}{2(x+2)(x+2)}

\lim_{x\to -2}\frac{1-\cos (x+2)}{x^2+4x+4}=\frac{1}{2}

Jadi, penyelesaian dari limit diatas adalah ½ .

[embedyt] https://www.youtube.com/embed?listType=playlist&list=PLz3XBpJ7xycNKRH1Bbb94h5llRRgaV25M&v=nJVvs71s7NU[/embedyt]

Silahkan tuliskan Komentar teman - teman disini.