Dengan merujuk pada materi tentang translasi sumbu, jika puncak parabola di titik V dengan koordinat (h, k) maka akan diperoleh persamaan parabola yang lebih umum, dan bentuk baku persamaan parabola akan berturut – turut menjadi :
(y – k)2 = 4p(x – h) ……………………………(1)
(x – h)2 = 4p(y – k) …………………………..(2)
Persamaan (1) di atas adalah persamaan parabola yang berpuncak di (h, k), dengan titik fokus (h + p, k) dan direktrik x = h – p. Sedangkan fokus parabola dengan persamaan (2) adalah (h, p + k) dan direktrik y = k – p.
Penjabaran lebih lanjut dari persamaan parabola (1) menghasilkan
(y – k)2 = 4p(x – h)
y2 – 2ky + k2 = 4px – 4ph
y2 – 4px – 2ky + k2 + 4ph = 0
Secara umum persamaan (1) dapat direduksi dalam bentuk
Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ……………………………. (3)
dengan C dan D tidak sama dengan nol yang menyatakan persamaan parabola dengan sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-x.
dengan sama persamaan (2) dapat direduksi dalam bentuk
Ax2 + Dx + Ey + F = 0 (4)
dengan A dan E tidak sama dengan nol yang menyatakan persamaan parabola dengan sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-y.
Persamaan (3) dan (4) di atas dikenal sebagai bentuk umum persamaan parabola.
Contoh 1:
Tentukan persamaan parabola yang mempunyai fokus di titik (7, 2) dan dengan direktrik garis x = 1. Buat sketsa grafiknya.
Jawab:
Puncak parabola berada di tengah antara fokus dan direktrik. Dengan mudah dapat diperoleh bahwa titik puncak parabola berada pada titik (4, 2). Jadi h = 4 dan k = 2.
Karena direktrik parabola adalah garis x = 1, maka parabola yang dicari bersesuaian dengan persamaan (1) dan berlaku
h – p = 1
p = h – 1 = 4 – 1 = 3.
Jadi persamaan parabola bentuk baku yang dicari adalah
(y – 2)2 = 4.3 (x – 4) $latex \Leftrightarrow$ (y – 2)2 = 12(x – 4)
Parabola diatas dapat direduksi menjadi dalam bentuk umum
y2 – 12x – 4y + 52 = 0.
Sketsa grafik dapat dilihat pada gambar berikut.
Contoh 2:
Sebuah parabola mempunyai persamaan 3x2 + 6x + 12y = 5
Nyatakan ke dalam bentuk baku, kemudian tentukan puncak, titik fokus dan direktrik dari parabola tersebut.
Jawab:
Kita ubah bentuk persamaan di atas ke dalam bentuk baku seperti pada persamaan (2)
3x2 + 6x + 8y = 5
3x2 + 6x = – 8y + 5
3(x2 + 2x) = – 8y + 5
3(x2 + 2x + 1 – 1) = – 8y + 5
3(x + 1)2 – 3 = – 8y + 5
3(x + 1)2 = – 8y + 8
3(x + 1)2 = – 8(y – 1)
(x + 1)2 = – (y – 1)
Dengan membandingkan persamaan ini dengan persamaan (2) maka diperoleh informasi
h = –1, k = 1
dan
4p = –$latex \frac{8}{3}$ $latex \Leftrightarrow$ p = –$latex \frac{2}{3}$
Jadi dapatlah disimpulkan bahwa parabola yang terjadi berpuncak di (–1, 1), titik fokusnya adalah (–1, 1 + (–$latex \frac{2}{3}$)) = (–1, $latex \frac{1}{3}$ ); dan garis direktriknya
y = 1 – (–$latex \frac{2}{3}$) $latex \Leftrightarrow$ y = $latex \frac{5}{3}$
Sketsa grafik dapat dilihat di gambar di bawah !
Contoh 3:
Tentukan persamaan parabola yang sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-y, berpuncak di P(2, 3) dan melalui titik Q(4, 5)
Jawab:
Bentuk baku dari persamaan parabola yang mempunyai sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y dan berpuncak di (h, k) adalah
(x – h)2 = 4p(y – k)
Karena parabola yang diminta berpuncak di P(2, 3), maka persamaan parabola dalam bentuk
(x – 2)2 = 4p(y – 3)
Titik Q(4, 5) terletak pada parabola, maka berlaku
(4 – 2)2 = 4p(5 – 3) ⇔ p = ½
Jadi persamaan parabola yang diminta adalah
(x – 2)2 = 4. ½ (y – 3)
x2 – 4x – 2y + 10 = 0