Bentuk umum Persamaan parabola

Dengan merujuk pada materi tentang translasi sumbu, jika puncak parabola di titik V dengan koordinat (h, k) maka akan diperoleh persamaan parabola yang lebih umum, dan bentuk baku persamaan parabola akan berturut – turut  menjadi :

(y – k)² = 4p(x – h) ……………………………(1)

(x – h)² = 4p(y – k) …………………………..(2)

Persamaan (1) di atas adalah persamaan parabola yang berpuncak di (h, k), dengan titik fokus (h + p, k) dan direktrik x = h – p. Sedangkan fokus parabola dengan persamaan (2) adalah (h, p + k) dan direktrik y = k – p.

Penjabaran lebih lanjut dari persamaan parabola (1) menghasilkan

(y – k)² = 4p(x – h)

y² – 2ky + k² = 4px – 4ph

y² – 4px – 2ky + k² + 4ph = 0

Secara umum persamaan (1) dapat direduksi dalam bentuk

Cy² + Dx + Ey + F = 0 ……………………………. (3)

dengan C dan D tidak sama dengan nol yang menyatakan persamaan parabola dengan sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-x.

dengan sama persamaan (2) dapat direduksi dalam bentuk

Ax² + Dx + Ey + F = 0 (4)

dengan A dan E tidak sama dengan nol yang menyatakan persamaan parabola dengan sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-y.

Persamaan (3) dan (4) di atas dikenal sebagai bentuk umum persamaan parabola.

Contoh 1:

Tentukan persamaan parabola yang mempunyai fokus di titik (7, 2) dan dengan direktrik garis x = 1. Buat sketsa grafiknya.

Jawab:

Puncak parabola berada di tengah antara fokus dan direktrik. Dengan mudah dapat diperoleh bahwa titik puncak parabola berada pada titik (4, 2). Jadi h = 4 dan k = 2.

Karena direktrik parabola adalah garis x = 1, maka parabola yang dicari bersesuaian dengan persamaan (1) dan berlaku

h – p = 1

p = h – 1 = 4 – 1 = 3.

Jadi persamaan parabola bentuk baku yang dicari adalah

(y – 2)² = 4.3 (x – 4) $latex \Leftrightarrow$ (y – 2)² = 12(x – 4)

Parabola diatas dapat direduksi menjadi dalam bentuk umum

y² – 12x – 4y + 52 = 0.

Sketsa grafik dapat dilihat pada gambar berikut.

Contoh 2:

Sebuah parabola mempunyai persamaan 3x² + 6x + 12y = 5

Nyatakan ke dalam bentuk baku, kemudian tentukan puncak, titik fokus dan direktrik dari parabola tersebut.

Jawab:

Kita ubah bentuk persamaan di atas ke dalam bentuk baku seperti pada persamaan (2)

3x² + 6x + 8y = 5

3x² + 6x = – 8y + 5

3(x² + 2x) = – 8y + 5

3(x² + 2x + 1 – 1) = – 8y + 5

3(x + 1)² – 3 = – 8y + 5

3(x + 1)² = – 8y + 8

3(x + 1)² = – 8(y – 1)

(x + 1)² = – (y – 1)

Dengan membandingkan persamaan ini dengan persamaan (2) maka diperoleh informasi

h = –1,  k = 1

dan

4p = –$latex \frac{8}{3}$ $latex \Leftrightarrow$ p = –$latex \frac{2}{3}$

Jadi dapatlah disimpulkan bahwa parabola yang terjadi berpuncak di (–1, 1), titik fokusnya adalah (–1, 1 + (–$latex \frac{2}{3}$)) = (–1, $latex \frac{1}{3}$ ); dan garis direktriknya

y = 1 – (–$latex \frac{2}{3}$) $latex \Leftrightarrow$ y = $latex \frac{5}{3}$

Sketsa grafik dapat dilihat di gambar di bawah !

Contoh 3:

Tentukan persamaan parabola yang sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-y, berpuncak di P(2, 3) dan melalui titik Q(4, 5)

Jawab:

Bentuk baku dari persamaan parabola yang mempunyai sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y dan berpuncak di (h, k) adalah

(x – h)² = 4p(y – k)

Karena parabola yang diminta berpuncak di P(2, 3), maka persamaan parabola dalam bentuk

(x – 2)² = 4p(y – 3)

Titik Q(4, 5) terletak pada parabola, maka berlaku

(4 – 2)² = 4p(5 – 3)  ⇔   p = ½

Jadi persamaan parabola yang diminta adalah

(x – 2)² = 4. ½ (y – 3)

x² – 4x – 2y + 10 = 0