Soal dan pembahasan lengkap persamaan parabola - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Soal dan pembahasan lengkap persamaan parabola

Persamaan parabola beserta rumus – rumusnya sudah kita bahas pada artikel saya terdahulu. Sekarang untuk memantapkan pengetahuan kita tentang materi persamaan parabola marilah kita menyimak contoh – contoh soal beserta pembahasannya. Jika teman – teman lupa dengan rumus persamaan parabola bisa terlebih dulu baca materinya di persamaan parabola.

Materi irisan kerucut yang terkait :

  1. penyelesaian soal persamaan garis singgung pada parabola
  2.  latihan soal membentuk persamaan elips dari unsurnya.

Contoh 1 # :

Also Read:

Tentukanlah persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan focus (0, \frac{1}{2})

Jawab :

Dari focus (0, \frac{1}{2}) diperoleh p = \frac{1}{2}

Dan sumbu simetrinya sumbu y sehingga persamaan parabola x2 = 4(\frac{1}{2})y = 2y.

Jadi, persamaan parabola adalah x2 = 2y.

Contoh 2 # :

Tentukan persamaan parabola dengan puncak (0,0), sumbu x sebagai sumbu simetri dan melalui titik (4, -8).

Jawab :

Persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan sumbu x sebagai sumbu simetri adalah y2 = 4px.

Sekarang kita perhatikan parabola melalui titik ( 4 , -8) berarti x = 4 dan y = -8. Kemudian nilai – nilai ini kita masukkan ke persamaan parabola.

y2 = 4px

(-8)2 = 4p.4

64 = 16p

p = \frac{64}{16}

p = 4

jadi, persamaan parabola tersebut adalah y2 = 4px \Rightarrow y2 = 16x.

Contoh 3 # :

Diketahui parabola y2 – 6y – 8x + 1 = 0, tentukanlah puncak, sumbu simetri, dan fokusnya !

Jawab :

Pertama, persamaan yang diketahui diubah ke bentuk baku yaitu : (y – b)2 = 4p(x – a) dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.

Langkah – langkahnya :

Kita tulis terlebih dahulu persamaan yang diketahui :

y2 – 6y – 8x + 1 = 0

Suku yang mengandung y kita kumpulkan di ruas kiri :

y2 – 6y = 8x – 1

kedua ruas ditambah dengan 9 ( nahhh….ini yang bikin bingung kan. Mengapa ditambah 9?. Agar di ruas kiri berbentuk kuadrat sempurna. Ingat kembali materi tentang melengkapkan kuadrat sempurna). Sehingga :

y2 – 6y + 9 = 8x – 1 + 9

suku yang di ruas kiri kita ubah ke dalam bentuk kuadrat sempurna.

(y – 3)2 = 8x + 8

Selanjutnya kita ubah ke dalam bentuk baku persamaan parabola, sehingga :

(y – 3)2 = 8(x – (-1))

Dari persamaan terakhir ini kita dapatkan bahwa puncaknya adalah

P (a, b) \Rightarrow P (-1, 3)

Fokus F (p + a, b) \Rightarrow F(2 – 1, 3) = F (1,3)

Sumbu Simetri y = b \Rightarrow y = 3.

 

Contoh 4 # :

Tentukan persamaan parabola dengan Fokus F ( – 4, – 4) dan Puncak P (-4\frac{1}{2} , – 4) !.

Jawab :

Dari Fokus (-4, -4) dan puncak (-4\frac{1}{2}, – 4) parabola memiliki ordinat sama yaitu – 4. Dengan demikian, sumbu simetri adalah y = -4.

Dari koordinat puncak didapat a = -4\frac{1}{2} dan b = -4.

Dari focus F(-4, -4) diperoleh :

P + a = – 4

P = -4 – (-4\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

Jadi diperoleh persamaan parabola :

(y – (-4))2 = 4 \left(\frac{1}{2}\right) \left(x-\left(-4\frac{1}{2}\right)\right)

(y + 4)2 = 2 \left(x+4\frac{1}{2}\right), atau (y + 4)2 = 2x + 9.

Contoh 5 # :

Tentukan persamaan parabola dengan sumbu simetri sejajar y = 0 dan melalui titik – titik ( -2, 4), ( -3, 2), dan (-11, -2) !.

Jawab :

Sumbu simetri sejajar dengan y = 0 ( sumbu x), maka persamaan parabola yang memenuhi adalah (y – b)2 = 4p (x – a ).

Untuk menentukan b, p, dan a titik – titik (-2,4), (-3,2), dan (-11,-2) disubstitusikan ke persamaan parabola di atas sehingga :

Untuk F yang melalui (-2, 4)

(4 – b)2 = 4p ( – 2 – a)

16 – 8b + b2 = -8p – 4ap …………(1)

Untuk F yang melalui (-3,2)

(2 – b)2 = 4p(- 3 – a)

4 – 4b + b2 = – 12p – 4ap …………(2)

Untuk F yang melalui (-11, -2)

(-2 – b)2 = 4p( – 11 – a)

4 + 4b + b2 = -44p – 4ap …………(3)

Jadi diperoleh tiga persamaan dengan tiga variable. Penyelesaiannya menggunakan metode substitusi dan elemenasi sebagai berikut .

Dari elemenasi persamaan (2) dan (3) didapatkan :

Dari eleminasi persamaan (1) dan (2) didapatkan

b = – 4p disubstitusikan ke persamaan yang terakhir ini sehingga diperoleh :

12 – 4(-4p) = 4p

12 + 16p = 4p

12p = -12

P = -1

Kemudian p = -1 kita substitusikan ke b = -4p sehingga diperoleh b = 4.

Selanjutnya p = -1 , b = 4 disubstitusikan ke persamaan (1) sehingga diperoleh

16 – 8(4) + (4)2 = – 8 (-1) – 4a(-1)

16 -32 + 16 = 8 + 4a

-8 = 4a

a = -2

dengan demikian persamaan parabola adalah :

(y – b)2 = 4p (x – a)

(y – 4)2 = 4(-1) (x –(-2))

(y – 4)2 = – 4(x + 2)

}
%d blogger menyukai ini: