Soal dan pembahasan Induksi matematika - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Soal dan pembahasan Induksi matematika

Halo teman – teman, masih ingat dengan postingan saya tentang ‘Induksi Matematika’ ?. Saya yakin, teman – teman ada yang masih bingung bagaimana sih sebenarnya cara untuk membuktikan suatu rumus dengan memakai induksi matematika?. Baiklah disini saya akan memperjelas postingan saya yang lampau.

Untuk membuktikan suatu rumus dengan memakai induksi matematika itu ada tiga langkah yang harus dilakukan, yaitu : pertama, kita buktikan untuk nilai n = 1. Apakah rumus yang akan kita buktikan bernilai benar?. Jika benar, kita lanjutkan ke langkah kedua, kita masukkan nilai n = k. waahhhh….macam mana pula ini maksudnya?. Hehe…tenang dulu teman – teman. n = k itu maksudnya kita ganti n dalam rumus yang akan kita buktikan dengan k. gampang kan. Tinggal diganti aja ga usah bingung. Kemudian kita sekarang lanjut ke langkah yang ketiga, yaitu kita substitusikan n = k + 1 ke dalam rumus. Nah, ini yang butuh penjelasan lebih lanjut. Kapan hal ini terbukti?. Jika untuk nilai n = k + 1 bentuknya bersesuaian dengan n = k dalam rumus yang kita mau buktikan sama atau bersesuain, maka rumus tersebut terbukti. Bingung kan teman – teman, baiklah biar tidak bingung kita langsung saja mulai dengan contoh – contoh.

Contoh 1 # :

Also Read:

Buktikan bahwa :

2 + 4 + 6 + 8 +10 + 12 + 14 + …+ 2n = n2 + n

Bukti :

Pertama, kita buktikan nilai tersebut untuk n = 1. Untuk n = 1, nilai fungsi tersebut adalah 12 + 1 = 2 (benar). Mengerti kan kenapa saya bilang benar?. ‘Benar’ maksudnya bahwa jika deret bilangan tersebut dijumlah sampai satu suku saja maka penjumlahannya akan bernilai 2 (dua). Kemudian kita cocokkan dengan rumus yang disebelah kanan yaitu n2 + n, ternyata memberikan hasil yang sama yaitu 2 (dua). Itulah maksud kata ‘benar’ itu gess !.

Kedua, kita buktikan untuk n = k. sehingga deret penjumlahan di atas menjadi :

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + … + 2n = n2 + n

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + … + 2k = k2 + k

Untuk n = k ini kita asumsikan bernilai benar.

Ketiga, kita buktikan untuk n = k + 1

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + … + 2n = n2 + n

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + … + 2k + 2(k + 1) = ( k + 1)2 + ( k + 1 )

(k2 + k) + 2 ( k + 1) = ( k + 1 )2 + ( k + 1) ingat : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + … + 2k = k2 + k

(k2 + k) + 2k + 2 = ( k + 1)2 + ( k + 1)

Kemudian kita tunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan. Yang menjadi acuan atau patokan adalah rumus yang disebelah kanan. Berarti yang disebelah kiri kita upayakan sama dengan ruas kanan. Sehingga :

K2 + 2k + k + 2 = ( k + 1) 2 + (k + 1)

Agar ruas kiri berbentuk kuadrat seperti di ruas kanan, maka persamaan di ruas kiri kita atur. Kita tahu bahwa : ( k + 1)2 = k2 + 2k + 1 sehingga :

k2 + 2k + 1 + k + 1 = ( k + 1)2 + ( k + 1)

(k + 1)2 + ( k + 1) = ( k + 1)2 + ( k + 1)

Sampai disini terlihat ruas kiri sama dengan ruas kanan dan bentuk rumusnya bersesuain saat kita memasukkan n = k.

Karena ketiga rumus penjumlahan di atas benar untuk ketiga langkah, maka dapat disimpulkan bahwa penjumlahan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n2 + n terbukti benar .

Contoh 2 # :

Buktikan bahwa :

31 + 39 + 47 + 55 + … + (8n + 23) = 4n2 + 27n

Bukti :

Pertama, untuk n = 1

Nilai penjumlahan deret tersebut adalah 4 . 12 + 27 . 1 = 4 + 27 = 31 (Benar)

Kedua, untuk n = k

31 + 39 + 47 + 55 + … + (8n + 23) = 4n2 + 27n

31 + 39 + 47 + 55 + … + ( 8k + 23 ) = 4k2 + 27k

Ketiga , untuk n = k + 1

31 + 39 + 47 + 55 + … + ( 8k + 23) + (8 (k + 1) + 23) = 4 ( k + 1)2 + 27 ( k + 1)

4k2 + 27k + 8(k + 1) + 23 = 4 (k + 1)2 + 27 ( k + 1)

4k2 + 27k + 8k + 8 + 23 = 4 (k + 1)2 + 27 (k + 1)

4k2 + 8k + 4 + 27k + 27 = 4 (k + 1)2 + 27(k + 1)

4 (k2 + 2k + 1) + 27(k + 1) = 4 ( k + 1)2 + 27( k + 1)

4 ( k + 1 )2 + 27 ( k + 1) = 4 ( k + 1)2 + 27 ( k + 1 )

Bagian terakhir terlihat bahwa ruas kiri dan kanan sama.

Karena langkah pertama, kedua, dan ketiga terpenuhi maka rumus tersebut terbukti.

}
%d blogger menyukai ini: