Rumus Penjumlahan dan pengurangan trigonometri

2
31

Perhatikan beberapa ilustrasi rumus berikut ini!

$2\sin \alpha \cdot\cos \beta =\sin \left ( \alpha +\beta \right )+\sin \left ( \alpha -\beta \right )$

$2\cos \alpha \cdot \sin \beta =\sin \left ( \alpha +\beta \right )-\sin \left ( \alpha -\beta \right )$

$2\cos \alpha \cdot \cos \beta =\cos \left ( \alpha +\beta \right )-\cos \left ( \alpha -\beta \right )$

$2\sin \alpha \cdot \sin \beta =-\cos \left ( \alpha +\beta \right )+\cos \left ( \alpha +\beta \right )$

Sekarang kita misalkan bahwa $P=\alpha +\beta$ dan $Q=\alpha -\beta$

Dari pemisalan ini kemudian kita dapatkan bahwa

$P+Q=\alpha +\beta +\alpha -\beta=2\alpha$

$\alpha =\frac{1}{2}(P+Q)$

$P-Q=\alpha +\beta –(\alpha -\beta =2\beta$

$\beta=\frac{1}{2}(P-Q)$

Tentunya teman – teman kebingungan, untuk apa sih pemisalan itu. Kok kayaknya menghambat – hambat waktu saja. Maksud dari pemisalan di atas adalah tidak lain untuk kita substitusi atau kita ganti ke rumus – rumus yang sudah saya tulis di atas. Dari mensubstitusi itu kita nantinya mendapatkan rumus yang baru yaitu rumus penjumlahan atau pengurangan trigonometri khususnya sinus dan cosinus.

Baik kita akan mulai mensubstitusi setiap rumus di atas dengan nilai $alpha$ dan $beta$ yang sudah kita misalkan tadi. Kita mulai dari rumus yang pertama.

$2\sin \alpha \cdot \cos \beta =\sin \left ( \alpha +\beta \right )+\sin \left ( \alpha -\beta \right )$

$2\sin \frac{1}{2}(P+Q)\cdot \cos \frac{1}{2}(P-Q) =\sin P+\sin Q$

Jadi dari substitusi rumus yang pertama ini kita mendapatkan rumus penjumlahan sinus, yaitu:

$\sin P+\sin Q=2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \cos \frac{1}{2}(P-Q)$

Kemudian nilai $\alpha$ dan $\beta$ tadi kita substitusi ke persamaan kedua, kita akan mendapatkan hasil sebagai berikut:

$2\cos \alpha \cdot \sin \beta =\sin \left ( \alpha +\beta \right )-\sin \left ( \alpha -\beta \right )$

$2\cos \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \sin \frac{1}{2}(P-Q) =\sin P-\sin Q$

Dan kita mendapatkan rumus yang kedua yaitu selisih nilai sinus dalam trigonometri

$\sin P-\cos Q=2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \sin \frac{1}{2}(P-Q)$

Selanjutnya kita substitusi untuk rumus yang ketiga

$2\cos \alpha \cdot \cos \beta =\cos \left ( \alpha +\beta \right )-\cos \left ( \alpha -\beta \right )$

$2\cos \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \cos \frac{1}{2}(P-Q) =\cos P-\cos Q$

$\cos P-\cos Q=2\cos \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \cos \frac{1}{2}(P-Q)$

Kita mendapatkan rumus yang ketiga $\cos P-\cos Q=2\cos \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \cos \frac{1}{2}(P-Q)$

Terakhir kita perhatikan persamaan yang ke empat

$2\sin \alpha \cdot \sin \beta =-\cos \left ( \alpha +\beta \right )+\cos \left ( \alpha +\beta \right )$

$2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \sin \frac{1}{2}(P-Q) =-\cos P+\cos Q$

$-(\cos P+\cos Q)=2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \sin \frac{1}{2}(P-Q)$

$\cos P+\cos Q=-2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \sin \frac{1}{2}(P-Q)$

Jadi, secara umum rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus adalah sebagai berikut :

$\sin P+\sin Q=2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \cos \frac{1}{2}(P-Q)$

$\sin P-\cos Q=2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \sin \frac{1}{2}(P-Q)$

$\cos P-\cos Q=2\cos \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \cos \frac{1}{2}(P-Q)$

$\cos P+\cos Q=-2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \cdot \sin \frac{1}{2}(P-Q)$

Demikian penjelasan saya mengenai rumus trigonometri khusunya penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus. Besar harapan saya artikel ini bisa bermanfaat untuk teman – teman semuanya. Kritik, pertanyaan atau saran bisa ditulis di kolom komentar.

2 KOMENTAR

Silahkan tuliskan Komentar teman - teman disini.