Persamaan Lingkaran - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Persamaan Lingkaran

IRISAN KERUCUT

Pengertian Irisan kerucut

1. Definisi Irisan Kerucut

Also Read:

Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh dengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu.

2. Macam – Macam Irisan Kerucut

Berdasarkan letak bidang datar yang mengirisnya, maka irisan kerucut dapat berupa titik, garis, segitiga, lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.

  • Jika bidang yang mengiris melalui puncak kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa titik.
  • Jika bidang yang mengiris berimpit dengan garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa sebuah garis.
  • Jika bidang yang mengiris melalui sumbu simetri kerucut dan tegak lurus lingkaran alas, maka irisan terbentuk berupa segitiga.
  • Jika bidang yang mengiris tegak lurus sumbu simetri kerucut, tetapi tidak melalui puncak, maka irisan yang terbentuk berupa lingkaran.
  • Jika bidang yang mengiris sejajar garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa parabla.
  • Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, tidak memotong lingkaran alas, tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa elips.
  • Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, memotong lingkaran alas, dan tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut maka irisannya berbentuk hiperbola.

Pengertian lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran.

Menentukan Persamaan Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r

Perhatikan gambar di bawah ini !

GB 1.png

Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun di luar limgkaran.

  1. Jika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku x2 + y2 = r2.
  2. Jika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku x2 + y2 < r2.
  3. Jika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku x2 + y2 > r2.

Contoh:

  1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !

Jawab:

x2 + y2 = r2

x2 + y2 = 52

x2 + y2 = 25

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang memenuhi persamaan x2 + y2 = 5 !

Jawab:

Pusat lingkaran x2 + y2 = 5 adalah (0,0). Jari-jari r2 = 5 berarti r = \sqrt{5}.

3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada pangkal koordinat dan melalui titik (5,12) !

Jawab:

Titik (5, 12) terletak pada lingkaran, berarti :

52 + 122 = r2

25 + 144= r2

r2 = 169

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pangkal dan melalui titik (5, 12) adalah x2 + y2 = 169.

4. Tentukah apakah titik P(2, 5) terletak pada, di dalam, atau di luar lingkaran x2 + y2 = 81 !

Jawab:

x2 + y2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29

Sedangkan r2 = 81, maka : x2 + y2 < r2 atau 29 < 81.

Jadi, titik P(2, 5) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 = 81.

2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r

gb2.png

 

 

Contoh:

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan berjari-jari r = 7 !

Jawab:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 3)2 + (y – 6)2 = 72

(x – a)2 + (y – b)2 = 49

2. Suatu lingkaran yang berpusat di titik (-2, 1) melalui titik (4, 9). Tentukan persamaan lingkarannya !

Jawab:

Jarak kedua titik merupakan jari-jari, maka :

(4 + 2)2 + (9 – 1)2 = r2

62 + 82 = r2

r2 = 100

Persamaan lingkarannya :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x + 2)2 + (y – 1)2 = 100

3. Tentukah apakah titik (3, 4) terletak pada, di dalam , atau di luar lingkaran yang mempunyai persamaan (x – 2)2 + (y – 1)2 = 36 ?

Jawab:

(x – a)2 + (y – b)2 = (3 – 2)2 + (4 – 1)2

= 12 + 32

= 10

r2 = 36

10 < 36 atau (x – 2)2 + (y – 1)2 < r2

Jadi, titik (3, 4) terletak di dalam lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 36.

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 kita jabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, maka kita peroleh bentuk sebagai berikut :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

x 2 – 2ax + a2 + y 2 – 2by + b2 = r2

x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2

x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

atau ditulis :

gb3.png

Contoh:

  1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + 6x + 4y – 3 = 0 !

Jawab:

gb4.png

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x 2 + 3y 2 – 4x + 8y – 1 = 0 !

Jawab:

3x 2 + 3y 2 – 4x + 8y – 1 = 0

gb5.png

D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Pada Lingkaran dengan Pusat (0,0)

Jika diketahui titik P(x1,y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2 maka persamaaan garis singgung di titik P(x1,y1) adalah :

gb6.png

Contoh:

Sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 25. Titik (3, 4) pada lingkaran itu. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (3, 4) !

Jawab:

x1. x + y1. y = r2

3x + 4y = 25

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Di Luar Lingkaran

Persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran O(0, 0) adalah :

gb7.png

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus dengan garis 4x – 3y – 5 = 0 !

Jawab:

Untuk x2 + y2 = 25, maka r = 5

gb8.png

3. Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran dengan Pusat (a,b) dan bergradien m

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a,b) dan bergradien m dirumuskan sebagai berikut :

gb9.png

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (2,1) pada lingkaran x2 + y2 +2x –4y –5 = 0!

Jawab:

Pusat lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0 adalah P(-1, 2) dan jari-jari \sqrt{10}, maka persamaan garis singgungnya :

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

(2 + 1)(x + 1) + (1 – 2)(y – 2) = 10

3(x + 1) – 1(y – 2) = 10

3x + 3 – y + 2 = 10

3x – y = 5

E. Persamaan Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam

  1. Garis Singgung Persekutuan Luar (Sl)

gb10.png

 

 

 

Contoh:

Diketahui lingkaran yang berpusat di P berjari-jari 4 cm dan lingkaran yang berpusat di Q berjari-jari 2 cm. PQ = 10 cm.

Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya !

Jawab:

gb11.png

 

 

 

 

 

 

  1. Garis Singgung Persekutuan Dalam (Sd)

gb12.png

 

Contoh:

Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 2 cm, lingkaran lain dengan pusat P dan jari-jari 1 cm, OP = 5 cm.

Hitung panjang garis singgung sekutu dalamnya !

Jawab:

gb13.png

 

LATIHAN

1. Tentukan persamaan lingkaran dengan :

a. Pusat lingkaran (0, 0) , jari-jari = 6

b. Pusat lingkaran (4, 0), jari-jari = 16

2. Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui :

a. Pusat lingkaran (0, 0), melalui (-3, 4)

b. Pusat lingkaran (-3, 1), melalui (-9, 1)

3. Tentukan puat dan jari-jari lingkaran berikut ini !

a. 3x2 + 3y2 = 6

b. (x – 1)2 + (y + 8)2 = 9

4. Tentukan puat dan jari-jari lingkaran berikut ini !

a. x2 + y2 + 2x + 6y – 15 = 0

b. 4x2 + 4y2 – 16x + 8y + 11 = 0

5. Tentukan letak titik (2, 3), (1, 2), dan (\sqrt{2},2) terhadap lingkaran x2 + y2 = 6 !

6. Tentukan letak titik (2, 3), (4, -6), dan (-2, 0) terhadap lingkaran (x – 7)2 + (y – 2)2 = 50 !

7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 5) dan menyinggung sumbu X !

8. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (3, 4) !

9. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 yang bergradien 3 !

10. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 melalui titik (5, 1) !

11. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus garis 4x – 3y – 25 = 0!

12. Jarak kedua pusat lingkaran 13 cm, jari-jari lingkaraan itu 6 cm dan 1 cm.

a. Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya.

b. Tentukan panjang garis singgung sekutu dalamnya.

 

}
%d blogger menyukai ini: