Persamaan gelombang stasioner

Pada proses pantulan gelombang, terjadi gelombang pantul yang mempunyai amplitudo dan frekwensi yang sama dengan gelombang datangnya, hanya saja arah rambatannya yang berlawanan. hasil interferensi (perpaduan) dari kedua gelombang tersebut disebut Gelombang Stasioner Atau Gelombang Diam.

PADA UJUNG BEBAS.

Selisih phase gelombang datang dan gelombang pantul di ujung bebas adalah 0, jadi $latex \Delta\varphi=0$. Ini berarti bahwa phase gelombang datang sama dengan phase gelombang pantul. Jika L adalah panjang tali dan x adalah jarak titik C yang teramati terhadap titik pantul pada ujung bebas, yaitu titik B. Jika A digetarkan, maka persamaan simpangan di A adalah

Also Read:

$latex y_{A}=A\sin\frac{2\pi}{T}t_{A}$

Titik C yang berjarak x dari ujung bebas B, mengalami getaran gelombang dari :

Gelombang datang : yaitu apabila A telah bergetar t detik, maka tentulah C menggetar kurang dari t detik, selisih waktu tersebut adalah sebesar $latex \frac{L-x}{v}$, sehingga $latex t_{c1}=t-\frac{L-x}{v}$ dan persamaan di C menjadi :

$latex y_{c1}=A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L-x}{v}\right)$

$latex y_{c1}=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L-x}{v.T}\right)$

$latex y_{c1}=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L-x}{\lambda}\right)$ sebab $latex v.T=\lambda$

Gelombang pantul : Rambatan gelombang telah menempuh jarak L + x, sehingga beda waktunya menjadi $latex \frac{L+x}{v}$ detik, maka $latex t_{c2}=\left(t-\frac{L+x}{v}\right)$ detik.

Maka persamaan simpangan di C menjadi :

$latex y_{c2}=A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L+x}{v}\right)$

$latex y_{c2}=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L+x}{v.T}\right)$

$latex y_{c2}=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L+x}{\lambda}\right)$

Hasil superposisi kedua gelombang adalah : $latex y_{c}=y_{c1}+y_{c2}$ jadi :

$latex y_{c}=A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L-x}{v}\right)+A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L+x}{v}\right)$

$latex y_{c}=A\left\{ \sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L-x}{v}\right)+\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L+x}{v}\right)\right\} $

$latex y_{c}=A.2\sin2\pi.\frac{1}{2}\left(\frac{2t}{T}-\frac{2L}{\lambda}\right)\cos2\pi.\frac{1}{2}\left(\frac{2x}{\lambda}\right)$

$latex y_{c}=2A\cos2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L}{\lambda}\right)$

Persamaan di atas dapat dianggap sebagai persamaan getaran selaras dengan amplitudo $latex 2A\cos2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)$ dan tergantung dari tempat titik yang diamati. Dari ungkapan $latex 2A\cos2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)$ sebagai amplitudo tidak tergantung dari pada waktu. Oleh karena pada simpul nilai amplitudo adalah nol dan lagi tidak merupakan fungsi dari pada waktu (t), maka :

$latex 2A\cos2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)=0$ sehingga :

$latex 2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)=\left(2n+1\right)\frac{1}{2}\lambda$

$latex 2x=\left(2n+1\right)\frac{1}{2}\lambda$

$latex x=\left(2n+1\right)\frac{1}{4}\lambda$

Dengan ungkapan ini terbuktilah , bahwa jarak simpul ke titik pantul bebas adalah : $latex \left(2n+1\right)\frac{1}{4}\lambda$

Jarak antara dua simpul berturutan adalah :

$latex \left(2\left(n+1\right)+1\right)\frac{1}{4}\lambda-\left(2n+1\right)\frac{1}{4}\lambda=$

$latex \left(2n+3\right)\frac{1}{4}\lambda-\left(2n+1\right)\frac{1}{4}\lambda=2.\frac{1}{4}\lambda$=$latex \frac{1}{2}\lambda$

Tempat-tempat yang menyatakan perut mempunyai harga amplitudo yang maksimal,

jadi :

$latex 2A\cos2\pi\frac{x}{\lambda}=maksimal$

$latex \cos2\pi\frac{x}{\pi}=\pm1$

$latex 2\pi\frac{x}{\lambda}=n\lambda$

$latex 2x = n\lambda$

$latex x = \frac{1}{2}n\lambda$

$latex x=2n\left(\frac{1}{2}\lambda\right)$

Jadi terbukti pula, bahwa jarak perut ke titik pantul bebas adalah bilangan genap kali $latex \frac{1}{2}$ panjang gelombang atau $latex 2n\times\frac{1}{4}\lambda$ .

UJUNG TERIKAT (UJUNG TETAP)

Dititik pantul yang tetap gelombang datang dan gelombang pantul berselisih phase $latex \frac {1}{2}$, atau gelombang pantul berlawanan dengan phase gelombang datang $latex \left(\Delta\varphi=\frac{1}{2}\right)$ . datang Jadi A digetarkan transversal maka $latex y_{A}=A\sin2\frac{t}{T}$.

Jika titik C yang kita amati, maka bagi gelombang yang datang dari kiri (gelombang datang) waktu menggetarnya C, yaitu tC terhadap waktu menggetarnya A, yaitu tA = t detik berbeda $latex \frac{L – x}{v}$  detik, sehingga $latex t_{c}=t-\frac{L-x}{v}$. Jadi :

$latex y_{c1}=A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L-x}{v}\right)$

$latex y_{c1}=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L-x}{v.T}\right)$

$latex y_{c1}=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L-x}{\lambda}\right)$

Bagi gelombang pantul yang datang dari kanan waktu getar C berselisih $latex \frac{L + x}{v}$ detik dan fasenya berselisih $latex \frac{1}{2}$, atau $latex \pi$,

sehingga :

$latex y_{c2}=A\sin2\pi\left(t-\frac{L+x}{\lambda}+\pi\right)$

$latex y_{c2}=-A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L+x}{\lambda}\right)$

Maka hasil superposisi gelombang datang dan gelombang pantul oleh ujung terikat adalah :

$latex y_{c}=y_{c1}+y_{c2}$

Jadi :

$latex y_{c}=A\sin2\pi\left(t-\frac{L-x}{\lambda}\right)-A\sin2\pi\left(t-\frac{L+x}{\lambda}\right)$

$latex y_{c}=A\left\{ \sin2\pi\left(t-\frac{L-x}{\lambda}\right)-\sin2\pi\left(t-\frac{L+x}{\lambda}\right)\right\} $

$latex y_{c}=A.2\cos2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L}{\lambda}\right).\sin2\pi\frac{x}{\lambda}$

$latex y_{c}=2A\sin2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right).\cos2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L}{\lambda}\right)$

Ungkapan ini dapat diartikan sebagai persamaan getaran selaras dengan amplitudo = $latex 2A\sin2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)$, yang ternyata tak tergantung pada t, oleh karena itu simpul mempunyai amplitudo 0 (nol) dan tidak tergantung dari pada waktu (t), maka untuk :

$latex 2A\sin2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)=0$

$latex 2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)=n\lambda$

$latex 2x = n\lambda$

$latex x = \frac{1}{2}n.\lambda$

$latex x = 2.n\frac{1}{4}\lambda$

Jadi terbukti pula, bahwa jarak simpul ke titik pantul tetap adalah bilangan genap kali $latex \frac{1}{4}$ panjang gelombang atau $latex 2.n\frac{1}{4}\lambda$ jarak antara dua simpul berturutan adalah : $latex 2\left(n+1\right).\frac{1}{4}\lambda-2n.\frac{1}{4}\lambda=\frac{1}{2}\lambda$

Tempat perut menunjukkan simpangan yang maksimal, jadi :

$latex 2A \sin 2\pi\frac{x}{\lambda} = maksimal$

$latex \sin2\pi\frac{x}{\pi}=\pm1$

$latex 2\pi\frac{x}{\lambda}=\left(2n+1\right).\frac{1}{2}\lambda$

$latex 2x=\left(2n+1\right).\frac{1}{2}\lambda$

$latex x=\left(2n+1\right).\frac{1}{4}\lambda$

Disini terlihat pula, bahwa jarak perut ke titik pantul tetap adalah bilangan ganjil kali $latex \frac{1}{2}$ panjang gelombang dan harga maksimum simpangan (amplitudo) gelombang stasioner adalah dua kali amplitudo gelombang yang menimbulkan inteferensi.

Jarak antara simpul dengan perut yang terdekat adalah :

$latex \left(2n+1\right)\frac{1}{4}\lambda-\left(2n\right).\frac{1}{4}\lambda=\frac{1}{4}\lambda$

Sedangkan jarak antara dua perut yang berturutan adalah :

$latex \left(2\left(n+1\right)+1\right).\frac{1}{4}\lambda-\left(2n+1\right).\frac{1}{4}\lambda=\frac{1}{2}\lambda$

Persamaan gelombang stasioner | Made Astawan | 4.5