Persamaan gelombang stasioner - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Persamaan gelombang stasioner

Pada proses pantulan gelombang, terjadi gelombang pantul yang mempunyai amplitudo dan frekwensi yang sama dengan gelombang datangnya, hanya saja arah rambatannya yang berlawanan. hasil interferensi (perpaduan) dari kedua gelombang tersebut disebut Gelombang Stasioner Atau Gelombang Diam.

PADA UJUNG BEBAS.

Selisih phase gelombang datang dan gelombang pantul di ujung bebas adalah 0, jadi \Delta\varphi=0. Ini berarti bahwa phase gelombang datang sama dengan phase gelombang pantul. Jika L adalah panjang tali dan x adalah jarak titik C yang teramati terhadap titik pantul pada ujung bebas, yaitu titik B. Jika A digetarkan, maka persamaan simpangan di A adalah

Also Read:

y_{A}=A\sin\frac{2\pi}{T}t_{A}

Titik C yang berjarak x dari ujung bebas B, mengalami getaran gelombang dari :

Gelombang datang : yaitu apabila A telah bergetar t detik, maka tentulah C menggetar kurang dari t detik, selisih waktu tersebut adalah sebesar \frac{L-x}{v}, sehingga t_{c1}=t-\frac{L-x}{v} dan persamaan di C menjadi :

y_{c1}=A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L-x}{v}\right)

y_{c1}=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L-x}{v.T}\right)

y_{c1}=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L-x}{\lambda}\right) sebab v.T=\lambda

Gelombang pantul : Rambatan gelombang telah menempuh jarak L + x, sehingga beda waktunya menjadi \frac{L+x}{v} detik, maka t_{c2}=\left(t-\frac{L+x}{v}\right) detik.

Maka persamaan simpangan di C menjadi :

y_{c2}=A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L+x}{v}\right)

y_{c2}=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L+x}{v.T}\right)

y_{c2}=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L+x}{\lambda}\right)

Hasil superposisi kedua gelombang adalah : y_{c}=y_{c1}+y_{c2} jadi :

y_{c}=A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L-x}{v}\right)+A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L+x}{v}\right)

y_{c}=A\left\{ \sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L-x}{v}\right)+\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L+x}{v}\right)\right\}

y_{c}=A.2\sin2\pi.\frac{1}{2}\left(\frac{2t}{T}-\frac{2L}{\lambda}\right)\cos2\pi.\frac{1}{2}\left(\frac{2x}{\lambda}\right)

y_{c}=2A\cos2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L}{\lambda}\right)

Persamaan di atas dapat dianggap sebagai persamaan getaran selaras dengan amplitudo 2A\cos2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right) dan tergantung dari tempat titik yang diamati. Dari ungkapan 2A\cos2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right) sebagai amplitudo tidak tergantung dari pada waktu. Oleh karena pada simpul nilai amplitudo adalah nol dan lagi tidak merupakan fungsi dari pada waktu (t), maka :

2A\cos2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)=0 sehingga :

2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)=\left(2n+1\right)\frac{1}{2}\lambda

2x=\left(2n+1\right)\frac{1}{2}\lambda

x=\left(2n+1\right)\frac{1}{4}\lambda

Dengan ungkapan ini terbuktilah , bahwa jarak simpul ke titik pantul bebas adalah : \left(2n+1\right)\frac{1}{4}\lambda

Jarak antara dua simpul berturutan adalah :

\left(2\left(n+1\right)+1\right)\frac{1}{4}\lambda-\left(2n+1\right)\frac{1}{4}\lambda=

\left(2n+3\right)\frac{1}{4}\lambda-\left(2n+1\right)\frac{1}{4}\lambda=2.\frac{1}{4}\lambda=\frac{1}{2}\lambda

Tempat-tempat yang menyatakan perut mempunyai harga amplitudo yang maksimal,

jadi :

2A\cos2\pi\frac{x}{\lambda}=maksimal

\cos2\pi\frac{x}{\pi}=\pm1

2\pi\frac{x}{\lambda}=n\lambda

2x = n\lambda

x = \frac{1}{2}n\lambda

x=2n\left(\frac{1}{2}\lambda\right)

Jadi terbukti pula, bahwa jarak perut ke titik pantul bebas adalah bilangan genap kali \frac{1}{2} panjang gelombang atau 2n\times\frac{1}{4}\lambda .

UJUNG TERIKAT (UJUNG TETAP)

Dititik pantul yang tetap gelombang datang dan gelombang pantul berselisih phase \frac {1}{2}, atau gelombang pantul berlawanan dengan phase gelombang datang \left(\Delta\varphi=\frac{1}{2}\right) . datang Jadi A digetarkan transversal maka y_{A}=A\sin2\frac{t}{T}.

Jika titik C yang kita amati, maka bagi gelombang yang datang dari kiri (gelombang datang) waktu menggetarnya C, yaitu tC terhadap waktu menggetarnya A, yaitu tA = t detik berbeda \frac{L - x}{v}  detik, sehingga t_{c}=t-\frac{L-x}{v}. Jadi :

y_{c1}=A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{L-x}{v}\right)

y_{c1}=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L-x}{v.T}\right)

y_{c1}=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L-x}{\lambda}\right)

Bagi gelombang pantul yang datang dari kanan waktu getar C berselisih \frac{L + x}{v} detik dan fasenya berselisih \frac{1}{2}, atau \pi,

sehingga :

y_{c2}=A\sin2\pi\left(t-\frac{L+x}{\lambda}+\pi\right)

y_{c2}=-A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L+x}{\lambda}\right)

Maka hasil superposisi gelombang datang dan gelombang pantul oleh ujung terikat adalah :

y_{c}=y_{c1}+y_{c2}

Jadi :

y_{c}=A\sin2\pi\left(t-\frac{L-x}{\lambda}\right)-A\sin2\pi\left(t-\frac{L+x}{\lambda}\right)

y_{c}=A\left\{ \sin2\pi\left(t-\frac{L-x}{\lambda}\right)-\sin2\pi\left(t-\frac{L+x}{\lambda}\right)\right\}

y_{c}=A.2\cos2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L}{\lambda}\right).\sin2\pi\frac{x}{\lambda}

y_{c}=2A\sin2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right).\cos2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{L}{\lambda}\right)

Ungkapan ini dapat diartikan sebagai persamaan getaran selaras dengan amplitudo = 2A\sin2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right), yang ternyata tak tergantung pada t, oleh karena itu simpul mempunyai amplitudo 0 (nol) dan tidak tergantung dari pada waktu (t), maka untuk :

2A\sin2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)=0

2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\right)=n\lambda

2x = n\lambda

x = \frac{1}{2}n.\lambda

x = 2.n\frac{1}{4}\lambda

Jadi terbukti pula, bahwa jarak simpul ke titik pantul tetap adalah bilangan genap kali \frac{1}{4} panjang gelombang atau 2.n\frac{1}{4}\lambda jarak antara dua simpul berturutan adalah : 2\left(n+1\right).\frac{1}{4}\lambda-2n.\frac{1}{4}\lambda=\frac{1}{2}\lambda

Tempat perut menunjukkan simpangan yang maksimal, jadi :

2A \sin 2\pi\frac{x}{\lambda} = maksimal

\sin2\pi\frac{x}{\pi}=\pm1

2\pi\frac{x}{\lambda}=\left(2n+1\right).\frac{1}{2}\lambda

2x=\left(2n+1\right).\frac{1}{2}\lambda

x=\left(2n+1\right).\frac{1}{4}\lambda

Disini terlihat pula, bahwa jarak perut ke titik pantul tetap adalah bilangan ganjil kali \frac{1}{2} panjang gelombang dan harga maksimum simpangan (amplitudo) gelombang stasioner adalah dua kali amplitudo gelombang yang menimbulkan inteferensi.

Jarak antara simpul dengan perut yang terdekat adalah :

\left(2n+1\right)\frac{1}{4}\lambda-\left(2n\right).\frac{1}{4}\lambda=\frac{1}{4}\lambda

Sedangkan jarak antara dua perut yang berturutan adalah :

\left(2\left(n+1\right)+1\right).\frac{1}{4}\lambda-\left(2n+1\right).\frac{1}{4}\lambda=\frac{1}{2}\lambda

}
%d blogger menyukai ini: