Sama seperti pada lingkaran, parabola dan elips, hiperbola juga memiliki garis singgung. Untuk menentukan persamaan garis singgung pada hiperbola kita melihatnya dari beberapa keadaan yaitu :

Persamaan garis singgung hiperbola yang melalui suatu titik pada hiperbola

Bagaimanakah caranya ?. pasti sulit. Hehe … tenang dulu teman. Cara menentukan persamaan garis singgungnya hamper sama dengan cara menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran, parabola, dan elips yaitu kita hanya melihat bentuk umum persamaan hiperbola. Wahhh…jadi bingung !. ga usah bingung, simak uraian berikut !.

Persamaan hiperbola yang berpusat di O (0,0) adalah :

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Maka persamaan garis singgung yang melalui titik (x1 , y1 ) adalah :

\frac{x_{1}x}{a^{2}}-\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1

Sedangkan persamaan hiperbola yang berpusat di P (p,q) adalah :

\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1

Maka persamaan garis singgung yang melalui titik (x1 , y1) adalah :

\frac{(x_{1}-p)(x-p)}{a^{2}}-\frac{(y_{1}-q)(y-q)}{b^{2}}=1

Baiklah,, biar tidak terlalu lama menjelimet kita langsung saja bahas contoh soalnya.

Contoh 1 # :

Tentukanlah persamaan garis singgung pada hiperbola \frac{(x+7)^{2}}{24}-\frac{(y-1)^{2}}{50}=1 di titik (-1, 6) !.

Jawab :

Pertama, kita perhatikan persamaan hiperbola tersebut :

\frac{(x+7)^{2}}{24}-\frac{(y-1)^{2}}{50}=1

Ini berarti hiperbola tersebt berpusat di titik (-7,1) atau p = -7 dan q = 1. Sedangkan a2 = 24 dan b2 = 50. Hiperbola tersebut melalui titik (-1,6) berarti x1 = -1 dan y1 = 6.

Berarti persamaan garis singgung kita tentukan dengan memakai rumus sebagai berikut :

\frac{(x_{1}-p)(x-p)}{a^{2}}-\frac{(y_{1}-q)(y-q)}{b^{2}}=1

Masukkan nilai x1, y1, p, q, a2 dan b2 ke rumus di atas, sehingga :

\frac{(-1+7)(x+7)}{24}-\frac{(6-1)(y-1)}{50}=1

\frac{6(x+7)}{24}-\frac{5(y-1)}{50}=1

\frac{x+7}{4}-\frac{y-1}{10}=1

Kemudian kedua ruas kita kalikan dengan 40 (KPK antara 4 dan 10), sehingga :

10(x + 7) – 4(y – 1) = 40

10x + 70 – 4y + 4 = 40

10x – 4y + 74 – 40 = 0

10x – 4y + 34 = 0

Kemudian kedua ruas dibagi dua, sehingga persamaan garis singgungnya menjadi :

5x – 2y + 17 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 5x – 2y + 17 = 0.

Saya rasa satu contoh soal sudah cukup untuk memahami materi ini. Sekarang kita lanjut ke keadaan yang kedua, yaitu :

Persamaan garis singgung pada Hiperbola dengan gradient tertentu

Teman – temanku yang baik hatinya dan tidak sombong …. !. bagaimanakah persamaan garis singgung pada hiperbola yang gradiennya diketahui?. Jawabannya adalah seperti di bawah ini :

Jika persamaan hiperbolanya \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, maka persamaan garis singgungnya adalah :

y = mx\pm\sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}} …… persamaan 1

Jika persamaan hiperbolanya adalah \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1, maka persamaan garis singgungnya adalah :

y = mx \pm \sqrt{-b^{2}m^{2}+a^{2}} ……persamaan 2

jika persamaan hiperbolanya \frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1 maka persamaan garis singgungnya adalah :

y – q = m (x – p) \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}} ….. persamaan 3.

Jika persamaan hiperbolanya \frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}=1 , maka persamaaan garis singgungnya adalah :

y – q = m(x – p) \pm \sqrt{-b^{2}m^{2}+a^{2}}

Contoh 2 # :

Tentukalah persamaan garis singgung pada hiperbola 16y2 – 9x2 = 9 yang tegak lurus terhadap garis \sqrt{2}x + y = 0 !.

Jawab :

Kita perhatikan \sqrt{2} x + y = 0

Ini berarti gradient m1 = – \sqrt{2}

Dan yang akan kita cari adalah gradient m2 yang tegak lurus dengan m1 .

Berarti : m1 . m2 = -1

m2 = \frac{-1}{m_{1}}=\frac{-1}{\sqrt{-2}}

m2 = \frac{1}{2}

kemudian kita perhatikan persamaan hiperbola :

16y2 – 9x2 = 9

Kita ubah ke bentuk baku agar kita dapat menentukan nilai a2 dan b2.

Kemudian ruas kita bagi dengan 9 agar ruas kanannya bernilai satu sehingga persamaan hiperbola terebut menjadi :

\frac{y^{2}}{\frac{9}{16}}-\frac{x^{2}}{1}=1

Dari persamaan hiprbola ini terlihat bahwa persamaan garis singgung ang memenuhi adalah persamaan 2. Sehingga persamaan garis singgungnya adalah :

y = mx \pm \sqrt{-b^{2}m^{2}+a^{2}}

y = \frac{1}{2}x\pm \sqrt{-(1)^{2}(\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{16}}

y = \frac{1}{2}x \pm \sqrt{\frac{1}{16}}

y = \frac{1}{2}x \pm\frac{1}{4}

jadi persamaan garis singgung hiperbola terebut adalah y = \frac{1}{2}x\pm\frac{1}{4}.

Tinggalkan Balasan

Post Navigation