Penyelesaian Integral Substitusi dan Integral Parsial

Dalam perhitungan tentang integral, ternyata tidak semua fungsi bisa kita integralkan dengan memakai rumus dasar atau rumus umum dari integral. Kenyataan dalam perhitungan ada banyak perhitungan fungsi yang sulit sekali bahkan tidak bisa kita selesaikan dengan memakai integral. Untuk memecahkan / menyelesaikan fungsi yang sulit kita integralkan tersebut, kita harus menggunakan teknik pengintegralan. Di uraian kali ini saya akan membahas dua teknik pengintegralan, yaitu integral substitusi dan integral parsial.

Integral Substitusi

Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Also Read:

Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.

subs1.png

Contoh # 1:

Tentukanlah nilai dari :

\int2x\left(x^{2}+3\right)^{4}dx

Penyelesaian:

Langkah pertama kita membuat pemisalan terhadap fungsi yang di integralkan.

Misalkan

u=x^{2}+3

Maka,

\frac{du}{dx}=2x

Atau

dx=\frac{du}{2x}

Sehingga diperoleh,

\int2x\left(x^{2}+3\right)^{4}dx=\int2x\textrm{ }u^{4}\frac{du}{2x}

=\int u^{4}du

=\frac{1}{5}u^{5}+C

=\frac{1}{5}\left(x^{2}+3\right)^{5}+C

Contoh 2 # :

Tentukanlah nilai dari

\int\sin^{3}x.\cos x\textrm{ dx}

Jawab :

Misalkan u = sin x, maka :

\frac{du}{dx}=\cos x

Atau

dx=\frac{du}{\cos x}

Sehingga diperoleh,

\int\sin^{3}x.\cos\textrm{ }x\textrm{ }dx=\int u^{3}\cos\textrm{ }x.\frac{du}{\cos\textrm{ }x}

=\int u^{3}du

=\frac{1}{4}u^{4}+C

=\frac{1}{4}\sin^{4}x+C

Integral Parsial

Teknik integral parsial ini digunakan bila suatu integral tidak dapat diselesaikan dengan cara biasa maupun dengan cara substitusi. Prinsip dasar integral parsial adalah sebagai berikut.

parsial.png

parsial 1.png

Contoh soal :

Tentukan

\int x^{2}\sin\textrm{ }x\textrm{ }dx

Penyelesaian:

Cara 1: dengan menggunakan rumus

\int u\textrm{ }dv=uv-\int v\textrm{ }du

Misal :

u=x^{2},\longrightarrow du=2x\textrm{ }dx

dv=\sin\textrm{ }x\textrm{ }dx\longrightarrow v=\int\sin\textrm{ }x\textrm{ }dx=-\cos\textrm{ }x

sehingga diperoleh,

\int x^{2}\sin\textrm{ }x\textrm{ }dx=x^{2}.\left(-\cos\textrm{ }x\right)-\int\left(-\cos\textrm{ }x\right)2x\textrm{ }dx

=x^{2}.\left(-\cos x\right)+\int\cos x.2x\textrm{ }dx

=-x^{2}.\cos\textrm{ }x+2\left(x.\sin\textrm{ }x-\int\sin x\textrm{ }dx\right)

=-x^{2}.\cos x+2x.\sin x+2\cos x+C

Selain cara di atas, dapat pula diselesaikan dengan cara sebagai berikut : untuk menentukan integral parsial bentuk \int u\textrm{ }dv yang turunan ke-k dari u adalah 0 dan integral ke- k dari v selalu ada.

Cara 2:

parsial 2.png

Mungkin teman – teman bingung maksud dari penjabaran tabel tersebut. Dua fungsi yang diintegralkan tersebut kita letakkan dalam dua kolom, dimana kolom yang dikiri kita diferensialkan atau turunkan, sedangkan kolom yang dikanan kita integralkan. Dan untuk fungsi yang diruas kiri itu kita integralkan sampai nilainya nol. Mengenai masalah tanda (positif atau negative), kita berikan tanda yang selang seling mulai dari positif untuk baris pertama kemudian negative dan seterusnya. Sedangkan hasil mengikuti arah anak panah dalam tabel di atas.

Sehingga diperoleh,

\int x^{2}.\sin\textrm{ }x\textrm{ }dx=-x^{2}.\cos x+2x.\sin x+2\cos x+C

Baiklah, untuk memperdalam pemahaman teman – teman tentang materi teknik pengintegralan, khususnya teknik substitusi dan teknik parsial, di bawah ini saya sediakan beberapa soal untuk latihan. Silahkan teman – teman coba.

Latihan soal :

Selesaikan integral berikut dengan teknik substitusi atau integral parsial!

soal int.png

Demikianlah urain singkat saya tentang teknik pengintegralan. Semoga bermanfaat.

Komentar Pembaca

soal int.pngparsial 2.pngparsial 1.pngparsial.pngsubs1.png
>