Pembuktian Persamaan Elips dan Penyelesaian Soal - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Pembuktian Persamaan Elips dan Penyelesaian Soal

Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik sedemikian hingga jumlah jaraknya dari pasangan dua titik tertentu yang berbeda adalah konstan tertentu. Dua titik tertentu di atas disebut titik fokus (foci).

Untuk menurunkan persamaan kurva ellips, dimisalkan kedua fokus berada pada sumbu-x dan sumbu-y menjadi bisektor tegaklurus segmen yang menghubungkan kedua fokus. Misalkan jarak antara kedua fokus adalah 2c, sehingga titik fokusnya adalah F(c, 0) dan F’(–c, 0) ( perhatikan gambar di bawah ini ).

Also Read:

Jika P(x, y) adalah sembarang titik yang berada pada ellips, maka menurut definisi akan berlaku

PF + PF’ = konstan…………………………. (1)

Dan apabila dimisalkan konstanta tertentu itu adalah 2a, maka dengan menggunakan rumus jarak untuk menyatakan PF dan PF’ diperoleh:

\sqrt{\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}+\sqrt{\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}=2a

\sqrt{\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}

x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}+x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2}

4a\sqrt{\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}=4a^{2}+4cx

\sqrt{\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}=a+\frac{cx}{a}

x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2}=a^{2}+2cx+\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}

\frac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}}x^{2}+y^{2}=a^{2}-c^{2}

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1 …………………….(2)

Segitiga FPF pada gambar di atas, dengan titik-titik sudut (–c, 0), (c, 0), dan (x, y) salah satu sisinya mempunyai panjang 2c. Sedangkan jumlah dua sisi yang lain adalah 2a. Jadi

2a > 2c

a > c

a2 >c2

a2c2 > 0.

Karena a2c2 adalah positif, maka bisa diganti dengan bilangan positif lain katakanlah

b2 = a2c2 ………………………………………(3)

Ini juga berarti bahwa b < a.

Jika persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (2) maka akan diperoleh persamaan:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ………………………….. (4)

Persamaan (4) di atas disebut persamaan ellips bentuk baku.

Jika fokus ellips adalah titik-titik (0, c) dan (0, –c) yang berada di sumbu-y (gambar di bawah) maka persamaan ellips bentuk baku adalah

\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 ……………………….. (5)

Dalam hal ini bilangan yang lebih besar adalah berada di bawah suku y2.

Karakteristik utama suatu ellips persamaan (4) ditunjukkan pada gambar di bawah.

Lebih dahulu kita amati bahwa grafik dari ellips dengan persamaan (4), adalah simetris dengan sumbu-x dan sumbu-y. Selanjutnya grafik memotong sumbu-x di titik (a, 0) dan (–a, 0), dan memotong sumbu-y di titik (0, b) dan (0, –b).

Garis yang melalui kedua fokus dinamakan sumbu utama ellips. Untuk ellips dengan persamaan berbentuk (4) sumbu-x menjadi sumbu utama ellips. Titik potong ellips dengan sumbu utamanya disebut puncak. Jadi untuk ellips dalam persamaan (4) puncaknya adalah A(a, 0) dan A’(–a, 0). Titik pada sumbu utama yang terletak di tengah-tengah kedua puncak ellips dinamakan pusat ellips. Pusat ellips dengan bentuk persamaan (4) adalah berimpit dengan titik asal. Segmen garis yang menghubungkan kedua puncak disebut sumbu mayor (sumbu panjang) ellips dengan panjang 2a satuan, dan kita katakan bahwa a adalah satuan panjang setengah panjang sumbu mayor. Pada ellips ini segmen garis yang menghubungkan titik potong ellips dengan sumbu-y yaitu titik (0, b) dan (0, –b) disebut sumbu minor (sumbu pendek) ellips. Panjang sumbu minor adalah 2b satuan, sehingga b adalah satuan panjang setengan sumbu minor. Titik-titik tetap F dan F’ terletak pada sumbu mayor dan disebut fokus, sebagaimana telah disebutkan pada definisi, adalah berjarak c dari pusat ellips.

Karakteristik dari ellips dengan persamaan (5) secara essensial adalah sama. Pada kenyataannya ellips dengan bentuk persamaan (4) dan (5) adalah identik dalam bentuk dan ukuran, hanya berbeda dalam posisi.

Karena titik B pada ellips, maka jumlah jarak dari kedua fokus adalah 2a; yaitu BF + BF’ = 2a. Akan tetapi B berada pada bisektor tegak lurus dari FF’, hal ini berarti berjarak sama dari F dan F’ yaitu BF = BF’ = a. Hal ini memungkinkan kita untuk memberikan interpretasi geometris pada relasi (4). Pada kenyataannya pada gambar terakhir terlihat bahwa a adalah sisi miring dan b dan c adalah sisi-sisi dari segitiga siku-siku BOF. Hal ini juga memberikan metoda geometrik berikut untuk menentukan letak fokus ellips: letakkan satu kaki jangka pada salah satu titik puncak sumbu minor, dengan radius sama dengan panjang setengah sumbu mayor, lukislah busur hingga memotong sumbu mayor. Titik potong garis lukis dengan sumbu mayor merupakan fokus ellips.

Tali busur yang melalui salah satu fokus dan tegak lurus dengan sumbu mayor disebut latus rektum. Sedangkan titik potong latus rektum dengan ellips disebut latera rekta. Untuk mencari panjang latus rektum diberikan nilai x=c=\sqrt{a^{2}-b^{2}} pada persamaan (4) dan dengan menyelesaikan persamaan untuk y diperoleh y = b2/a. Jadi latera rekta ellips (4) adalah L(c, b2/a) dan R(c, –b2/a), sehingga panjang latus rektum ellips adalah 2b2/a. Jika panjang setengah latus rektum dinotasikan dengan l maka

l=\frac{b^{2}}{a} ……………………….(6)

Sebuah ellips dapat dibuat sketsa grafiknya secara kasar dengan memperhatikan ujung-ujung sumbu mayor dan minor dan ujung latus rektum, dan dengan menggunakan kenyataan bahwa grafinya simetrik terhadap kedua sumbu. Konstruksi secara mekanik akan diberikan pada seksi lain.

Contoh 1:

Selidiki dan buat sketsa grafik dari persamaan 9x2 + 25y2 = 225

Jawab:

Pertama nyatakan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk baku dengan membagi masing-masing ruas dengan 225 dan diperoleh bentuk baku

\frac{9x^{2}}{225}+\frac{25y^{2}}{225}=1

\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1

Dalam hal ini a2 = 25, b2 = 9, dan c2 = a2b2 = 25 – 9 = 16, atau a = 5, b = 3, c = 4. Jadi persamaan di atas adalah ellips yang berpusat di (0, 0), puncak (\pm5, 0) dan titik fokus (\pm4, 0). Sumbu mayor sejajar dengan sumbu-x dan panjangnya 10 satuan, dan sumbu minor panjangnya 6 satuan. Sketsa grafik dapat dilihat di gambar di bawah.

 

Contoh 2:

Tentukan persamaan ellips dengan pusat (0, 0), salah satu puncak (0, –13), dan salah satu titik fokus (0, 12).

Jawab:

Puncak (0, –13) berarti sumbu mayor sejajar dengan sumbu-y dengan a = 13, panjang sumbu mayor = 26 dan karena fokus di (0, 12) berarti c = 12. panjang sumbu minor dapat dicari dengan rumus

b2 = a2c2 = 132 – 122 = 169 – 144 = 25

Jadi b = 5.

Bentuk baku dari persamaan ellips yang dicari adalah

\frac{y^{2}}{169}+\frac{x^{2}}{25}=1

Contoh 3:

Suatu kelengkungan berbentuk setengah ellips dengan lebar alas 48 meter dan tinggi 20 meter. Berapa lebar kelengkungan itu pada ketinggian 10 meter dari alas ?

Jawab:

Gambar di atas memperlihatkan sketsa lengkungan dan sumbu-sumbu koordinat dapat dipilih sedemikian hingga sumbu-x terletak pada alas dan titik asal adalah titik tengah alas. Maka sumbu utama ellips terletak sepanjang sumbu-x, pusatnya di titik asal, a = ½48 = 24, b = 20. Persamaan ellips berbentuk \frac{x^{2}}{576}+\frac{y^{2}}{400}=1

Pada ketinggian 10 meter, berarti untuk nilai y = 10 akan diperoleh x yang menyatakan lebar setengah lengkungan pada ketinggian 10 meter. Jadi \frac{x^{2}}{576}+\frac{10^{2}}{400}=1

sehingga diperoleh

x2 = 432 , x = 12\sqrt{3}

Dengan demikian pada ketinggian 10 meter dari alas, lebar kelengkungan adalah AB = 24\sqrt{3} meter.

 

 

}
%d blogger menyukai ini: