Pembahasan OSK SMP Matematika 2016 - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Pembahasan OSK SMP Matematika 2016

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 2016 tingkat kabupaten.

Berikut ini merupakan pembahasan soal olimpiade sains nasional (OSN) 2016 tingkat kabupaten untuk mata pelajaran Matematika. bagi adik – adik / teman – teman yang  memiliki ketertarikan dengan kompetensi ini mari kita simak pembahasan berikut !. mohon masukan dan saran dari teman – teman semuanya.

  1. Nilai dari \frac{2017(2016^{2}-16)x2015}{2020x(2016^{2}-1)} adalah ….
    • Jawab :
    • Misal 2016 = x.
    • sehingga persamaan diatas menjadi:
    • \frac{(x+1)(x^{2}-16)(x-1)}{(x+4)(x^{2}-1)}
    • = \frac{(x+1)(x+4)(x-4)(x-1)}{(x+4)(x+1)(x-1)}
    • = x – 4 = 2016 – 4 = 2012
  2. Misalkan \left\lceil x\right\rceil menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x. Jika x = \frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{2}{1002}+\frac{3}{1003}+...+\frac{10}{1010}} , maka nilai \left\lceil x\right\rceil   adalah ….
    • Jawab :
    • Nilai Minimum untuk x = \frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{2}{1001}+...+\frac{10}{1001}}=\frac{2}{\frac{55}{1001}} = \frac{2002}{55} =36,4
    • Nilai Maksimum untuk x =\frac{2}{\frac{1}{1010}+\frac{2}{1010}+...+\frac{10}{1010}}=\frac{2}{\frac{55}{1010}} = \frac{2020}{55} =36,73
    • Artinya 36,4 < x < 36,7Bilangan Bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x adalah 37.
  3. Jika n! = n. ( n – 1) (n – 2) … 3.2.11. 1! + 2. 2! + 3. 3! + … + (n-1)(n-1)! + n. n! = ….
    • Jawab : (n + 1)! – 1
    • Perhatikan Pola Berikut :1 . 1! = 11 . 1! + 2 . 2! = 1 + 4 = 5 = 6 – 1 = 3! – 1
    • 1 . 1! + 2. 2! + 3. 3! = 1 + 4 + 18 = 23 = 24 – 1 = 4! – 1
    • 1 . 1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! = 23 + 96 = 119 = 120 – 1 = 5! – 1
    • …………………………………………………………………………………..
    • 1.1! + 2.2! + 3. 3! + …..+ (n -1) . (n – 1)! + n. n! = ( n +1)! – 1
  4. Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegi panjang kongruen dengan panjang 17 cm dan lebar 8 cm. Titik F adalah titik Potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC adalah ….cm^2 .osk soal 4 copy
    • Jawab :
    • 4
    • Gunakan Teorema Phytagoras pada segitiga BCE diperoleh BE = 15 cm, sehingga AE = 2 cm.
    • Perhatikan bahwa segitiga AEF sebangun dengan segitiga BCE, sehingga :
    • \frac{AF}{BE} = \frac{AE}{BC}
    • \frac{AF}{15} = \frac{2}{8}
    • AF = 3\frac{3}{4}
    • Luas EFDC dapat dihitung sebagai berikut :
    • L = 17 x 8 – \frac{1}{2} x 8 x 15 – \frac{1}{2} x 2 x 3\frac{3}{4}
    • L = 72,25
    • jadi, Luas segiempat EFDC adalah 72,25 cm^2 .
  5. Diketahui dua titik A(1,1) dan B(12, – 1). Garis l dengan gradien – ¾ melalui titik B. Jarak antara titik A dan garis l adalah … satuan panjang.
    • Jawab :
    • Garis l dengan gradien – ¾ melalui titik B(12, – 1) adalah
      y – (-1) = – ¾ (x – 12)
      y + 1 = – ¾ x + 9
      4y + 4 = -3x + 36
      3x + 4y – 32 = 0
      Jarak titik A (1,1) terhadap garis l dicari dengan
      d=\frac{|3.1+4.1-32|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{25}{5}=5Jadi jarak titik A (1,1) terhadap garis l adalah 5 satuan
  6. Perhatikan gambar di samping. Jika BE = 2 cm, EF = 6 cm, dan FC = 4 cm, maka panjang DE adalah … cm. 6a
    • Jawab :
    • 6b
      Gunakan kesebangunan pada segitiga ABC dengan garis tinggi AF didapat :
      AF^{2} = BF x CF
      AF^{2} = 8 x 4
    • AF=\sqrt{32}=4\sqrt{2}
    • karena segitiga BDE dan BCA sebangun,  maka :
      \frac{DE}{4\sqrt{2}}=\frac{2}{12}DE=\frac{2\sqrt{3}}{3}jadi panjang DE adalah \frac{2\sqrt{3}}{3} cm.
  7. Pada pagi hari yang cerah, suatu bola raksasa ditempatkan di tanah lapang yang datar. Panjang bayangan bola tersebut apabila diukur dari titik singgung bola dengan tanah adalah 15 m. Di samping bola tersebut terdapat tiang vertikal dengan tinggi 1m yang mempunyai bayangan sepanjang 3 m. Radius bola tersebut adalah … m.
  8. Banyak bilangan real x yang memenuhi x^{2016}x^{2014} = x^{2015}x^{2013} adalah ….
    • Jawab :
    • x^{2016}x^{2014} = x^{2015}x^{2013}
      (x^{2015}x^{2013} ) x – (x^{2015}x^{2013} ) = 0
      (x – 1)(x^{2015}x^{2013} ) =0
      (x – 1) (x^{2} – 1) (x^{2013}) = 0
      (x -1) (x – 1) (x + 1) (x^{2013}) = 0
      (x - 1)^{2} (x + 1) (x^{2013}) =0
      x = 1, atau x = -1, atau x = 0
      jadi, ada tiga bilangan real yang memenuhi persamaan tersebut.
  9. Jika sistem persamaan
    mx + 3y = 21
    4x – 3y = 0
    Memiliki penyelesaian bilangan bulat x dan y, maka nilai m + x + y yang mungkin adalah ….

    Also Read:

    • Jawab :
    • mx + 3y = 21
      4x – 3y = 0 \leftrightarrow   y = \frac{4}{3}x
      Kedua persamaan di atas dijumlahkan diperoleh
      (m + 4) x = 21
      Dengan memperhatikan x dan y bilangan bulat, dan faktor 21 = 1, 3, 7, 21,
      Untuk m = 17, maka x = 1, sehingga y =\frac{4}{3} . 1 = \frac{4}{3} dan m + x + y bukan bilangan bulat
      Untuk m = 3, maka x = 3, sehingga y = \frac{4}{3} . 3 = 4, dan m + x + y = 3 + 3 + 4 = 10
      Jadi nilai m + x + y yang mungkin adalah 10
  10. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti kegiatan Paskibra. Hasil survei adalah sebagai berikut:
    25% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti kegiatan tersebut;
    90% dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri.
    Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah ….

    • Jawab :
    • Misalkan banyaknya siswa peminat paskibra adalah N, maka
      Siswa putri peminat paskibra adalah 90%N, dan ini merupakan 50% = ½ dari total siswa putri. Ini berarti total siswa putri = 2 x 90%N=180%N
    • Siswa putra peminat paskibra adalah 10%N, dan ini merupakan 25% = ¼ dari total siswa putra. Ini berarti total siswa putra = 4 x 10%N = 40%N
      Total siswa putri : total siswa putra = 180%N : 40%N = 9 : 2
      Jadi rasionya adalah 9 : 2
  11. Suatu fungsi ditentukan dengan rumusf(x)=\begin{cases}\begin{array}{c}2x+1, untuk  x  Genap\\2x-1, untuk  x  Ganjil\end{array}\end{cases} Jika a adalah bilangan asli, maka nilai yang tidak mungkin untuk f(a) adalah ….
    • Jawab :
    • Andaikan untuk a bilangan asli f(a) = 39.
      Kasus 1: jika a genap, maka 2a + 1 = 39 \leftrightarrow a=17 merupakan bilangan ganjil
      Kasus 2: jika a ganjil, maka 2a – 1 = 39 \leftrightarrow a = 20 merupakan bilangan genap
      Dari kasus 1 dan 2 tidak mungkin ada bilangan asli a yang merupakan bilangan ganjil dan sekaligus bilangan genap.
      Jadi nilai f(a) tidak mugkin 39

  12. Banyak bilangan bulat k > – 20 sehingga parabola y = x^2 + k tidak berpotongan dengan lingkaran x^2 + y^2 = 9 adalah ….
  13. Suatu perusahaan menjual dua jenis produk A dan B. Rasio hasil penjualan produk A dan B dari tahun 2012 sampai dengan 2015 disajikan pada gambar berikut.13Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut.
    13aRata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah … .

    • Jawab :
    • Penjualan produk B dapat dihitung dari prosentasenya dibandingkan produk A sbb:
      Tahun 2012 : \frac{40\%}{60\%} x 1200 = 800
      Tahun 2013 : \frac{20\%}{80\%} x 2400 = 600
      Tahun 2014 : \frac{40\%}{60\%} x 2400 = 3600
      Tahun 2015 : \frac{10\%}{90\%} x 3600 = 400
      Rata-rata penjualannya = \frac{(800 + 600 + 3600 + 400}{4} = 1350
      Jadi rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah 1350
  14. Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1 sampai dengan 13. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah ….
    • Jawab :
    • Misalkan A = Kejadian terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13
      P(A) = P(merah) + P(bernomor 13) – P(merah dan bernomor 13)
      P(A) = \frac{1}{4} + \frac{1}{13}\frac{1}{52} = \frac{13}{52} + \frac{4}{52}\frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{8}{26} .
  15. Terdapat lima bilangan bulat positif dengan rata-rata 40 dan jangkauan 10. Nilai maksimum yang mungkin untuk bilangan terbesar dari lima bilangan tersebut adalah ….
    • Jawab :
    • Misalkan bilangan itu a\leq b\leq c\leq d\leq e
      Jangkauan : e – a = 10
      Rata-rata 40 , berarti a + b + c + d + e = 40 x 5 = 200
    • 15

 

 

 

 

 

}
%d blogger menyukai ini: