Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

a)       memfaktorkan,

Also Read:

• garis singgung parabola pada kemiringan m
• Ruang sampel dan peluang suatu kejadian
• Soal dan pembahasan Induksi matematika

b)       melengkapkan kuadrat sempurna,

c)       menggunakan rumus.

Uraian:

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax² + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh #1 :

Selesaikan x² – 4 x + 3 = 0

Jawab:    x² – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0

x = 3   atau    x = 1

Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Contoh #2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)² = x – 2.

Jawab:

(x – 2)² = x – 2

x² – 4 x + 4 =  x – 2

x² – 5 x + 6 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0   atau   x – 2 = 0

x = 3   atau          x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.

Contoh #3 :

Tentukan penyelesaian dari 2 x² + 7 x + 6 = 0.

Jawab:

2 x² + 7 x + 6 = 0

2 x² + 4 x + 3 x + 6 = 0

2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(x + 2) (2 x + 3) = 0

x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0

x = –2   atau           x = – 1

Jadi, penyelesaiannya adalah  –2 dan –1.

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.

Contoh #1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.

Jawab:

x² – 6 x + 5 = 0

x² – 6 x + 9 – 4 = 0

x² – 6 x + 9 = 4

(x – 3)² = 4

x – 3 = 2  atau x – 3 = –2

x = 5    atau     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

Contoh #2:

Tentukan penyelesaian dari 2 x² – 8 x + 7 = 0.

Jawab:

2 x² – 8 x + 7 = 0

2 x² – 8 x + 8 – 1 = 0

2 x² – 8 x + 8 = 1

2 (x² – 4 x + 4) = 1

2 (x – 2)² = 1

(x – 2)² = ½

x – 2 = $latex \sqrt{\frac{1}{2}}$   atau x – 2 = –$latex \sqrt{\frac{1}{2}}$

x = 2 + $latex \frac{1}{2} \sqrt{2}$   atau x = 2 – $latex \frac{1}{2} \sqrt{2}$

Jadi, penyelesaiannya adalah   2 + $latex \frac{1}{2} \sqrt{2}$   dan   2 – $latex \frac{1}{2} \sqrt{2}$.

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x² + b x + c = 0 adalah

$latex x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Contoh #1 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 7x – 30 = 0.

Jawab:

x² + 7x – 30 = 0

a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30

$latex x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$latex x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{7^{2}-4.1.(-30)}}{2.1}$

$latex x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{49+120}}{2}$

$latex x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{169}}{2}$

$latex x_{1,2}=\frac{-7\pm 13}{2}$

x = 3   atau   x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.