Pada artikel saya terdahulu, kita sudah membahas tentang persamaan elips yaitu cara menentukan unsur – unsurnya dari persamaan yang ada. Sekarang pertanyaannya, bagaimana kalau kasusnya dibalik?. Yaitu diketahui beberapa unsur saja kemudian kita disuruh mencari persamaannya. Tentu susah kan ?. hehe….sabar dulu teman – teman. Saya pastikan tidak ada yang susah selama kita memiliki kemauan yang kuat. Mari kita langsung menyimak contoh soalnya.

Contoh 1 # :

Tentukan persamaan elips yang memiliki sumbu simetri x = 2 dan y = 3, focus F (5,3) serta melalui titik (2,7).

Penyelesaian :

Pertama, kita misalkan pusat dari elips tersebut adalah (p, q). dan satu hal yang harus kita ketahui, jika pusatnya (p, q) maka sumbu simetrinya berada di x = p dan y = q. dalam soal diketahui sumbu simetrinya berada di x = 2 dan y = 3 berarti pusatnya adalah (2,3 ).

Sekarang kita perhatikan fokusnya yaitu F ( 5,3). Dari fokusnya ini terlihat bahwa focus terletak pada sumbu simetri y = 3. Ini berarti bahwa elips yang dimaksud adalah elips horizontal atau sumbu mayornya berada sejajar sumbu x. oleh karena itu, persamaan baku elips yang memenuhi adalah :

\frac{(x\quad -\quad p)^{2}}{a^{2}}\quad + \quad \frac{(y\quad - \quad q)^{2}}{b^{2}} = \quad 1

\frac{(x\quad - \quad 2)^{2}}{a^{2}}\quad + \quad \frac{(y \quad - \quad 3)^{2}}{b^{2}} \quad = \quad 1 …….(i).

Dari persamaan (i) di atas terlihat bahwa untuk menentukan persamaan elips kita harus mencari nilai a dan nilai b.

Mari kita tinjau sekali lagi focus elips tersebut :

F1 = (c + p , q) dan F2 (- c + p , q)

Untuk nilai c yang lebih kecil dari nol (c > 0) kita akan dapatkan c + p akan lebih dari p ditulis :

C + p > p , dan

-c + p < p

Dalam soal focus yang diketahui (5,3), ingat p =2 . dari focus ini, jelas focus yang dimaksud adalah F1 sehingga :

c + p = 5

c + 2 = 5

c = 3

kemudian kita ingat c2 = a2 – b2 atau a2 = b2 + c2 sehingga diperoleh :

a2 = b2 + 32

a2 = b2 + 9 ……… (ii)

elips tersebut melalui titik (2,7) berarti x = 2 dan y = 7.

\frac{(x\quad - \quad p)^{2}}{a^{2}} \quad \frac{(y\quad - \quad q)^{2}}{b^{2}} \quad = \quad 1

\frac{(2-2)^{2}}{a^{2}}\frac{(7-3)^{2}}{b^{2}} = 1

\frac{0}{a^{2}}\quad + \quad \frac{16}{b^{2}}\quad = \quad 1

0 + \frac{16}{b^{2}}=1

b2 = 16

b = 4

kemudian nilai b = 4 kita masukkan ke persamaan (ii) sehingga diperoleh :

a2 = b2 + 9

a2 = 16 + 9 = 25

a = 5

dengan demikian persamaan elips yang ditanyakan adalah :

\frac{(x\quad - \quad 2)^{2}}{25} \quad + \quad \frac{(y\quad - \quad 3)^{2}}{16}\quad = \quad 1

Contoh 2 # :

Tentukan persamaan elips dengan puncak (8,3) dan (-4,3) dan salah satu focus pada (6,3)

Penyelesaian :

Kita perhatikan puncak V1 (8,3) dan V2 (-4 , 3) serta fokusnya F(6,3)

Dari ini unsur kita mengetahui bahwa elips sumbu mayornya sejajar sumbu x atau jenisnya elipsnya adalah elips horizontal. Dan nilai q = 3.

V1 ( a + p , q ) dan V2 (- a + p ,q)

V1 (a + p , 3) dan V2 (-a + p, 3)

V1 (8 , 3) dan V2 (-4,3)

Artinya :

a + p = 8 …… (i)

-a + p = -4 ……..(ii)

Persamaan (i) dan (ii) kemudian kita elemenasi sehingga kita dapatkan nilai a = 6 dan p = 2.

Selanjutnya kita lanjutkan mencari unsur yang lain yaitu b. tapi terlebih dulu kita cari unsur c dalam fokusnya.

F(c + p , 3)

F (6,3)

c + p = 6

c + 2 = 6

c = 4

kemudian kita substitusikan ke rumus c2 = a2 – b2 atau b2 = a2 – c2

b2 = 62 – 42 = 36 – 16 = 20

b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

berarti unsur untuk membentuk elips sudah lengkap. Dengan demikian persamaan elips yang dimaksud adalah :

\frac{(x-2)^{2}}{36}\quad + \quad \frac{(y-3)^{2}}{20} \quad = \quad 1.

Contoh 3 # :

Tentukan persamaan elips dengan pusat (- 1, – 3) , sumbu mayor sejajar sumbu x dan melalui titik ( -1,2) dan (2,-3).

Penyelesaian :

Pusat (-1,3) berarti p = -1 dan q = -3

Sumbu mayor sejajar sumbu x berarti elips yang dimaksud adalah elips horizontal.

Sekarang kita tinjau pada saat elips melalui titik ( -1,2) berarti :

\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}} \quad + \quad \frac{(y-q)^{2}}{b^{2}} \quad = \quad 1

\frac{(-1 + 1)^{2}}{a^{2}} + \frac{(2 + 3 )^{2}}{b^{2}} = 1

0 + \frac{25}{b^{2}} = 1

b2 = 25

b = 5.

Tinjau saat melalui titik (2,-3)

\frac{(2+1)^{2}}{a^{2}} + \frac{(-3+3)^{2}}{b^{2}}=1&0000ff

\frac{9}{a^{2}} + 0 = 1

a2 = 9

a = 3

dengan demikian persamaan elips yang dimaksud adalah

\frac{(x-2)^{2}}{9} + \frac{(y-3)^{2}}{25} = 1.

Demikianlah ulasan singkat saya tentang bagaimana menentukan persamaan elips dari beberapa unsur yang diketahui. semoga teman – teman bisa membantu. Dan jika teman – teman mempunyai saran atau masukan silahkan tulis di kolom komentar. Thank u.

Tinggalkan Balasan

Post Navigation