Menentukan Kofaktor dan Adjoin suatu matriks

Pada artikel terdahulu, kita sudah membahas tentang mencari minor suatu matriks. Bagi teman – teman yang masih belum memahami tentang minor suatu matriks, bisa di baca lagi artikel saya yang lalu tentang pengertian minor suatu matriks. Penguasaan materi minor mutlak diperlukan, karena kita hanya bisa mengerti tentang kofaktor dan adjoin jika kita sudah mengerti tentang minor suatu matriks.

Baiklah kita langsung saja ke pokok bahasannya. Yang pertama kita bahas tentang kofaktor suatu matriks.

Kofaktor suatu matriks dirumuskan sebagai (-1) pangkat baris ditambah kolom elemen minor dari matriks bersangkutan. Secara matematis dirumuskan sebagai :

Also Read:

K_{ij}=(-1)^{i+j}.M_{ij}

Keterangan :

K_{ij} maksudnya kofaktor dari suatu matriks baris ke – i dan kolom ke – j.

i menyatakan baris

j menyatakan kolom.

M_{ij} merupakan minor baris ke – i kolom ke – j dari suatu matriks.

Contoh :

Tentukanlah kofaktor dari matriks

A=\begin{bmatrix}2&4\\3&5\end{bmatrix}

Jawab :

Terlebih dulu kita cari minor dari matriks A tersebut. Disini minor dari matriks A di dapat :

M_{A}=\begin{bmatrix}5&3\\4&2\end{bmatrix}

Kemudian kita cari kofaktor tiap elemen dari minor tersebut :

Kofaktor Matriks A baris pertama kolom pertama, berarti i = 1 dan j = 1.

K_{11}=(-1)^{i+j}. M_{ij}

K_{11}=(-1)^{1+1}. M_{11}

K_{11}=(-1)^{2}.5

K_{11}=1.5=5

Kofaktor matriks A baris pertama kolom kedua, berarti i = 1 dan j = 2.

K_{12}=(-1)^{1+2}.M_{12}

K_{12}=(-1)^{3}.M_{12}

K_{12}=(-1).3=-3

Kofaktor matriks A baris kedua kolom pertama, berarti i = 2 dan j = 1

K_{21}=(-1)^{2+1}.M_{21}

K_{21}=(-1)^{3}.4

K_{21}=-4

Kofaktor matriks A baris kedua kolom kedua, berarti i = 2 dan j = 2

K_{22}=(-1)^{2+2}.M_{22}

K_{22}=1.2=2

Jadi, kofaktor dari matriks A adalah

K_{A}=\begin{bmatrix}5&-3\\-4&2\end{bmatrix}

Sekarang bagaimana dengan Adjoinnya?. Kita langsung saja ya cari adjoin matriks A di atas. Tetapi terlebih dulu kita bahas secara singkat apa sih yang dimaksud dengan adjoin?. Adjoin merupakan transfus dari kofaktor matriks A. secara matematis dirumuskan sebagai :

Adj A=K_{A}^{T}

Dimana :

K_{A}^{T} = Transfus kofaktor dari matriks A

Adj A = adjoin matriks A

jadi rinciannya seperti ini. Jika kita mau mencari adjoin sebuah matriks, maka terlebih dulu kita cari minornya dulu, setelah itu dari minor ini kita akan mendapatkan matriks kofaktor. Kemudian kofaktor ini kita transfuskan itulah adjoin sebuah matriks. Gampang ya. Oh ya, dalam kalimat di tadi ada kata transfus, apa sih yang dimaksud dengan matriks transfuse?. Matriks transfus maksudnya matriks yang urutan baris diubah menjadi kolom dan kolom menjadi baris.

Dari soal di atas , maka kita bisa menentukan adjoinnya adalah sebagai berikut :

Adj A =K_{A}^{T}

Adj A=\begin{bmatrix}5&-4\\-3&2\end{bmatrix}

Sekarang bagaimana kalau matriksnya berordo 3 x 3?. Kita perhatikan contoh di bawah ini !

Contoh :

Tentukanlah Kofaktor dan Adjoin dari matriks berikut :

A=\begin{bmatrix}2&4&6\\1&3&2\\0&1&2\end{bmatrix}

Penyelesaian :

Terlebih dahulu kita cari minor matriks A, disini didapat bahwa minor matriks A adalah :

A=\begin{bmatrix}4&0&1\\2&4&2\\10&-2&2\end{bmatrix}

Sehingga kofaktor matriks A adalah :

A=\begin{bmatrix}4&0&1\\-2&4&-2\\10&2&2\end{bmatrix}

Adjoin matriks A dicari dengan mencari transfus dari kofaktor matriks A, sehingga :

Adj A=\begin{bmatrix}4&2&10\\0&4&-2\\1&2&2\end{bmatrix}

Demikianlah uraian materi tentang kofaktor dan adjoin suatu matriks. Semoga bermanfaat.

Komentar Pembaca

>