Menentukan kecepatan sudut dari Fungsi percepatan sudut - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Menentukan kecepatan sudut dari Fungsi percepatan sudut

Pada gerak linear, kecepatan partikel v dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan fungsi percepatan a(t) terhadap waktu. Mirip dengan gerak linear tersebut, pada gerak melingkar, kecepatan sudut \omega dapat dicari dengan mengintegralkan fungsi percepatan sudut \alpha.

\alpha=\frac{d\omega}{dt}

d\omega=\alpha\textrm{ }dt

Also Read:

\int_{\omega_{0}}^{\omega}d\omega=\intop_{0}^{t}\alpha\textrm{ }dt

\omega-\omega_{0}=\intop_{0}^{t}\alpha\textrm{}dt

\omega=\omega_{0}+\intop_{0}^{t}\alpha\textrm{ }dt

Dimana :

\omega = kecepatan sudut pada saat t

\omega_{0} = kecepatan sudut awal pada saat t = 0

\alpha = percepatan sudut

Jika \alpha konstan, gerakan partikel adalah gerak melingkar berubah beraturan, maka :

\omega=\omega_{0}+\intop_{0}^{t}\alpha\textrm{ }dt

\omega=\omega_{0}+\alpha t

Rumus di atas berlaku untuk mencari kecepatan sudut pada saat t untuk gerak melingkar berubah beraturan.

Persamaan posisi sudut untuk gerak rotasi dengan percepatan sudut tetap (gerak melingkar berubah beraturan) dapat dicari dengan mensubstitusikan persamaan \omega=\omega_{0}+\alpha t pada persamaan \omega=\frac{d\theta}{dt}. Hasil substitusi yang didapat adalah :

\frac{d\theta}{dt}=\omega

\frac{d\theta}{dt}=\omega_{0}+\alpha t

d\theta=\left(\omega_{0}+\alpha t\right)dt

Dengan mengintegralkan persamaan ini dari batas awal t = 0 sampai dengan batas akhir t, dapat diperoleh posisi sudut \theta sebagai berikut :

\int_{\theta_{0}}^{\theta}d\theta=\int_{0}^{t}\left(\omega_{0}+\alpha t\right)dt

\theta-\theta_{0}=\omega_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}

\theta=\theta_{0}+\omega_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}

Rumus yang terakhir ini merupakan rumus untuk posisi sudut pada saat t untuk gerak melingkar berubah beraturan.

dimana :

\theta = posisi sudut pada saat t

\theta_{0} = posisi sudut awal pada saat t = 0

\omega_{0} = kecepatan sudut awal

\alpha = percepatan sudut awal

t = waktu

jika kita menginginkan suatu persamaan tanpa peubah waktu t, kita dapat menurunkan persamaan itu menjadi :

\omega=\omega_{0}+\alpha t

\alpha t=\omega-\omega_{0}

t=\frac{\omega-\omega_{0}}{\alpha}

Substitusikan harga t pada persamaan posisi sudut \theta sehingga diperoleh :

\theta=\theta_{0}+\omega_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}

\theta=\theta_{0}+\omega_{0}\left(\frac{\omega-\omega_{0}}{\alpha}\right)+\frac{1}{2}\alpha\left(\frac{\omega-\omega_{0}}{\alpha}\right)^{2}

\theta=\theta_{0}+\frac{\omega\omega_{0}}{\alpha}-\frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha}+\frac{1}{2}\alpha\left(\frac{\omega^{2}-2\omega\omega_{0}+\omega_{0}^{2}}{\alpha^{2}}\right)

\theta=\theta_{0}+\frac{\omega\omega_{0}}{\alpha}-\frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha}+\frac{1}{2}\frac{\omega^{2}}{\alpha}-\frac{\omega\omega_{0}}{\alpha}+\frac{\frac{1}{2}\alpha^{2}}{\alpha}

\theta=\theta_{0}+\frac{\frac{1}{2}\omega^{2}}{\alpha}-\frac{\frac{1}{2}\omega_{0}^{2}}{\alpha}

\theta-\theta_{0}=\frac{\omega^{2}}{2\alpha}-\frac{\omega_{0}^{2}}{2\alpha}

\omega^{2}-\omega_{0}^{2}=2\alpha\left(\theta-\theta_{0}\right)

\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha\left(\theta-\theta_{0}\right)

Rumus yang terakhir ini juga merupakan rumus gerak melingkar berubah beraturan tetapi tanpa ada peubah waktu t.

Contoh 1 # :

Sebuah roda berputar terhadap poros sumbu Z dengan percepatan sudut dinyatakan sebagai : \alpha = (4t – 2) rad/s^{2}, dengan t dalam sekon. Jika kecepatan sudut awal 2 rad/s dan posisi sudut awal 4 rad, tentukanlah persamaan kecepatan sudut, kecepatan sudut pada saat t = 2 s, persamaan posisi sudut, dan posisi sudut pada saat t = 3 s !

Jawab :

\alpha = (4t – 2) rad/s^{2}

\omega_{0} = 2 rad/s

\theta_{0} = 4 rad

persamaan kecepatan sudut dapat dicari dengan mengintegrasikan fungsi percepatan sudut :

\omega=\omega_{0}+\int_{0}^{t}\alpha dt
\omega=2+\int_{0}^{t}\left(4t-2\right)dt
\omega=2+[2t^{2}-2]_{0}^{t}
\omega=\left(2t^{2}-2t+2\right)

Kecepatan sudut pada saat t = 2 s, dapat dihitung dengan persamaan :

\omega=\omega_{0}+\int_{0}^{t}\alpha dt

dari yang pertama di dapat \omega = 2t^{2} - 2t + 2

kemudian substitusikan t = 2 s, sehingga didapat :

\omega=\left(2.2^{2}-2.2+2\right)

\omega = 6 rad/s.

Persamaan posisi sudut dapat dicari dengan mengintegrasikan fungsi kecepatan sudut :

\theta=\theta_{0}+\int_{0}^{t}\omega dt

\theta=4+\int_{0}^{t}\left(4t-2\right)dt

\theta=4+[\frac{2}{3}t^{3}-t^{2}+2t]_{0}^{t}

\theta=4+\left\{ \left[\frac{2}{3}t^{3}-t^{2}+2t\right]-\left[\frac{2}{3}(0)^{3}-(0)^{2}+2(0)\right]\right\}

\theta=4\left\{ \left[\frac{2}{3}t^{3}-t^{2}+2t\right]-0\right\}

\theta=\left(\frac{2}{3}t^{3}-t^{2}+2t+4\right) rad

Catatan : oleh karena \alpha tidak konstan, tidak boleh menggunakan rumus  \theta=\theta_{0}+\omega_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}.

Posisi sudut pada saat t = 3 s dapat dihitung dengan menggunakan persamaan \theta=\theta_{0}+\int_{0}^{t}\omega dt. Oleh karena sudah dihitung pada persamaan posisi di atas  maka kita tinggal mensubstitusikan t = 3 s ke persamaan posisinya :

\theta=\frac{2}{3}t^{3}-t^{2}+2t+4

\theta=\frac{2}{3}\left(3\right)^{3}-\left(3\right)^{2}+2\left(3\right)+4

\theta = 18 – 9 + 6 + 4 = 19 rad

Contoh 2 # :

Sebuah roda diputar dengan kecepatan sudut awal 40 rad/s. setelah berputar selama 50 s, kecepatan sudut berkurang menjadi 15 rad/s. Jika posisi sudut awal = 0, tentukanlah percepatan sudut roda dan sudut yang ditempuh roda sampai berhenti !

Jawab :

Kecepatan sudut awal : \omega_{0} = 40 rad/s

Lamanya roda berputar : t = 50 s

Kecepatan sudut akhir : \omega = 15 rad/s

Posisi sudut awal :\theta_{0} = 0

Percepatan sudut roda dapat dihitung dengan persamaan :

\omega=\omega_{0}+\int_{0}^{t}\alpha dt

15=40+\int_{0}^{50}\alpha dt

15=40+\left[\alpha t\right]_{0}^{50}

15 – 40 = \alpha(50) – \alpha(0)

-25 = 50\alpha

\alpha = – \frac{25}{50} = -0,5 rad/s^{2}

jadi percepatan sudut adalah – 0,5 rad/s^{2} ( tanda min menyatakan perlambatan.

Oleh karena telah dihitung bahwa \alpha konstan maka untuk mencari sudut yang ditempu roda sampai berhenti dapat digunakan rumus untuk \alpha konstan.

\omega=\omega_{0}+\alpha t  roda berhenti berarti \omega = 0

0 = 40 + (- 0,5) t

0,5t = 40

t = \frac{40}{0,5} = 80 s

Sudut yang ditempuh dapat dicari dengan rumus :

\theta=\theta_{0}+\theta_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}

\theta = 0 + 40 (80)  + \frac {1}{2} (-0,5)(80)^{2}

\theta = 3200 – 1600 = 1600 rad

}
%d blogger menyukai ini: