Menentukan kecepatan sudut dari Fungsi percepatan sudut

Pada gerak linear, kecepatan partikel v dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan fungsi percepatan a(t) terhadap waktu. Mirip dengan gerak linear tersebut, pada gerak melingkar, kecepatan sudut $latex \omega$ dapat dicari dengan mengintegralkan fungsi percepatan sudut $latex \alpha$.

$latex \alpha=\frac{d\omega}{dt}$

$latex d\omega=\alpha\textrm{ }dt$

Also Read:

$latex \int_{\omega_{0}}^{\omega}d\omega=\intop_{0}^{t}\alpha\textrm{ }dt$

$latex \omega-\omega_{0}=\intop_{0}^{t}\alpha\textrm{}dt$

$latex \omega=\omega_{0}+\intop_{0}^{t}\alpha\textrm{ }dt$

Dimana :

$latex \omega$ = kecepatan sudut pada saat t

$latex \omega_{0}$ = kecepatan sudut awal pada saat t = 0

$latex \alpha$ = percepatan sudut

Jika $latex \alpha$ konstan, gerakan partikel adalah gerak melingkar berubah beraturan, maka :

$latex \omega=\omega_{0}+\intop_{0}^{t}\alpha\textrm{ }dt$

$latex \omega=\omega_{0}+\alpha t$

Rumus di atas berlaku untuk mencari kecepatan sudut pada saat t untuk gerak melingkar berubah beraturan.

Persamaan posisi sudut untuk gerak rotasi dengan percepatan sudut tetap (gerak melingkar berubah beraturan) dapat dicari dengan mensubstitusikan persamaan $latex \omega=\omega_{0}+\alpha t$ pada persamaan $latex \omega=\frac{d\theta}{dt}$. Hasil substitusi yang didapat adalah :

$latex \frac{d\theta}{dt}=\omega$

$latex \frac{d\theta}{dt}=\omega_{0}+\alpha t$

$latex d\theta=\left(\omega_{0}+\alpha t\right)dt$

Dengan mengintegralkan persamaan ini dari batas awal t = 0 sampai dengan batas akhir t, dapat diperoleh posisi sudut $latex \theta$ sebagai berikut :

$latex \int_{\theta_{0}}^{\theta}d\theta=\int_{0}^{t}\left(\omega_{0}+\alpha t\right)dt$

$latex \theta-\theta_{0}=\omega_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}$

$latex \theta=\theta_{0}+\omega_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}$

Rumus yang terakhir ini merupakan rumus untuk posisi sudut pada saat t untuk gerak melingkar berubah beraturan.

dimana :

$latex \theta$ = posisi sudut pada saat t

$latex \theta_{0}$ = posisi sudut awal pada saat t = 0

$latex \omega_{0}$ = kecepatan sudut awal

$latex \alpha$ = percepatan sudut awal

t = waktu

jika kita menginginkan suatu persamaan tanpa peubah waktu t, kita dapat menurunkan persamaan itu menjadi :

$latex \omega=\omega_{0}+\alpha t$

$latex \alpha t=\omega-\omega_{0}$

$latex t=\frac{\omega-\omega_{0}}{\alpha}$

Substitusikan harga t pada persamaan posisi sudut $latex \theta$ sehingga diperoleh :

$latex \theta=\theta_{0}+\omega_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}$

$latex \theta=\theta_{0}+\omega_{0}\left(\frac{\omega-\omega_{0}}{\alpha}\right)+\frac{1}{2}\alpha\left(\frac{\omega-\omega_{0}}{\alpha}\right)^{2}$

$latex \theta=\theta_{0}+\frac{\omega\omega_{0}}{\alpha}-\frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha}+\frac{1}{2}\alpha\left(\frac{\omega^{2}-2\omega\omega_{0}+\omega_{0}^{2}}{\alpha^{2}}\right)$

$latex \theta=\theta_{0}+\frac{\omega\omega_{0}}{\alpha}-\frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha}+\frac{1}{2}\frac{\omega^{2}}{\alpha}-\frac{\omega\omega_{0}}{\alpha}+\frac{\frac{1}{2}\alpha^{2}}{\alpha}$

$latex \theta=\theta_{0}+\frac{\frac{1}{2}\omega^{2}}{\alpha}-\frac{\frac{1}{2}\omega_{0}^{2}}{\alpha}$

$latex \theta-\theta_{0}=\frac{\omega^{2}}{2\alpha}-\frac{\omega_{0}^{2}}{2\alpha}$

$latex \omega^{2}-\omega_{0}^{2}=2\alpha\left(\theta-\theta_{0}\right)$

$latex \omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha\left(\theta-\theta_{0}\right)$

Rumus yang terakhir ini juga merupakan rumus gerak melingkar berubah beraturan tetapi tanpa ada peubah waktu t.

Contoh 1 # :

Sebuah roda berputar terhadap poros sumbu Z dengan percepatan sudut dinyatakan sebagai : $latex \alpha$ = (4t – 2) rad/$latex s^{2}$, dengan t dalam sekon. Jika kecepatan sudut awal 2 rad/s dan posisi sudut awal 4 rad, tentukanlah persamaan kecepatan sudut, kecepatan sudut pada saat t = 2 s, persamaan posisi sudut, dan posisi sudut pada saat t = 3 s !

Jawab :

$latex \alpha$ = (4t – 2) rad/$latex s^{2}$

$latex \omega_{0}$ = 2 rad/s

$latex \theta_{0}$ = 4 rad

persamaan kecepatan sudut dapat dicari dengan mengintegrasikan fungsi percepatan sudut :

$latex \omega=\omega_{0}+\int_{0}^{t}\alpha dt$
$latex \omega=2+\int_{0}^{t}\left(4t-2\right)dt$
$latex \omega=2+[2t^{2}-2]_{0}^{t}$
$latex \omega=\left(2t^{2}-2t+2\right)$

Kecepatan sudut pada saat t = 2 s, dapat dihitung dengan persamaan :

$latex \omega=\omega_{0}+\int_{0}^{t}\alpha dt$

dari yang pertama di dapat $latex \omega = 2t^{2} – 2t + 2$

kemudian substitusikan t = 2 s, sehingga didapat :

$latex \omega=\left(2.2^{2}-2.2+2\right)$

$latex \omega$ = 6 rad/s.

Persamaan posisi sudut dapat dicari dengan mengintegrasikan fungsi kecepatan sudut :

$latex \theta=\theta_{0}+\int_{0}^{t}\omega dt$

$latex \theta=4+\int_{0}^{t}\left(4t-2\right)dt$

$latex \theta=4+[\frac{2}{3}t^{3}-t^{2}+2t]_{0}^{t}$

$latex \theta=4+\left\{ \left[\frac{2}{3}t^{3}-t^{2}+2t\right]-\left[\frac{2}{3}(0)^{3}-(0)^{2}+2(0)\right]\right\} $

$latex \theta=4\left\{ \left[\frac{2}{3}t^{3}-t^{2}+2t\right]-0\right\} $

$latex \theta=\left(\frac{2}{3}t^{3}-t^{2}+2t+4\right)$ rad

Catatan : oleh karena $latex \alpha$ tidak konstan, tidak boleh menggunakan rumus  $latex \theta=\theta_{0}+\omega_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}$.

Posisi sudut pada saat t = 3 s dapat dihitung dengan menggunakan persamaan $latex \theta=\theta_{0}+\int_{0}^{t}\omega dt$. Oleh karena sudah dihitung pada persamaan posisi di atas  maka kita tinggal mensubstitusikan t = 3 s ke persamaan posisinya :

$latex \theta=\frac{2}{3}t^{3}-t^{2}+2t+4$

$latex \theta=\frac{2}{3}\left(3\right)^{3}-\left(3\right)^{2}+2\left(3\right)+4$

$latex \theta$ = 18 – 9 + 6 + 4 = 19 rad

Contoh 2 # :

Sebuah roda diputar dengan kecepatan sudut awal 40 rad/s. setelah berputar selama 50 s, kecepatan sudut berkurang menjadi 15 rad/s. Jika posisi sudut awal = 0, tentukanlah percepatan sudut roda dan sudut yang ditempuh roda sampai berhenti !

Jawab :

Kecepatan sudut awal : $latex \omega_{0}$ = 40 rad/s

Lamanya roda berputar : t = 50 s

Kecepatan sudut akhir : $latex \omega$ = 15 rad/s

Posisi sudut awal :$latex \theta_{0}$ = 0

Percepatan sudut roda dapat dihitung dengan persamaan :

$latex \omega=\omega_{0}+\int_{0}^{t}\alpha dt$

$latex 15=40+\int_{0}^{50}\alpha dt$

$latex 15=40+\left[\alpha t\right]_{0}^{50}$

15 – 40 = $latex \alpha$(50) – $latex \alpha$(0)

-25 = 50$latex \alpha$

$latex \alpha$ = – $latex \frac{25}{50}$ = -0,5 rad/$latex s^{2}$

jadi percepatan sudut adalah – 0,5 rad/$latex s^{2}$ ( tanda min menyatakan perlambatan.

Oleh karena telah dihitung bahwa $latex \alpha$ konstan maka untuk mencari sudut yang ditempu roda sampai berhenti dapat digunakan rumus untuk $latex \alpha$ konstan.

$latex \omega=\omega_{0}+\alpha t$  roda berhenti berarti $latex \omega$ = 0

0 = 40 + (- 0,5) t

0,5t = 40

t = $latex \frac{40}{0,5}$ = 80 s

Sudut yang ditempuh dapat dicari dengan rumus :

$latex \theta=\theta_{0}+\theta_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}$

$latex \theta$ = 0 + 40 (80)  + $latex \frac {1}{2}$ (-0,5)$latex (80)^{2}$

$latex \theta$ = 3200 – 1600 = 1600 rad

Menentukan kecepatan sudut dari Fungsi percepatan sudut | Made Astawan | 4.5