Membuat model matematika - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Membuat model matematika

pada praktiknya, masalah program linear melibatkan banyak variabel dan pertidaksamaan linear. metode untuk memecahkan masalah – masalah program linear seperti ini dikembangkan kali pertama oleh matematikawan amerika , George Dantzig. teorinya saat itu dikenal dengan sebutan metode simpleks.  kemudian pada tahun 1984, narendra karmakar dari bell laboratories menemukan suatu cara yang memperbaiki kemampuan simpleks untuk memecahkan masalah – masalah program linear besar, dengan ribuan variabel dan ratusan pertidaksamaan linear.

pada pembahasan kali ini kita akan membatasi masalah Program linier dengan sistem pertidaksamaan linier yang pertidaksamaan- pertidaksamaannya hanya memiliki dua variabel saja (biasanya x dan y). Dengan demikian, masalah program linier seperti meminimumkan biaya produksi atau biaya angkut, atau memaksimalkan keuntungan, dapat dipecahkan secara sederhana dengan pendekatan grafik.

Masalah pengoptimalan selalu dikaitkan dengan kendala-kendala atau batasan-batasan yang terdapat dalam system tersebut, misalkan bahan-bahan yang diperlukan ataupun peralatan (mesin) yang akan digunakan. Kendala-kendala tersebut harus diterjemahkan ke dalam bentuk system pertidaksamaan linier. Dari sistem pertidaksamaan yang terbentuk, akan diperoleh suatu himpunan penyelesaian, yang merupakan alternatif penyelesaian yang memenuhi kendala tersebut. Dari alternatif-alternatif penyelesaian tersebut, diperoleh satu atau beberapa penyelesaian yang dapat memaksimalkan atau meminimalkan masalah.

Also Read:

Model Matematika

Jika anda memecahkan masalah pengoptimalan dengan program linier, terdapat kendala-kendala atau batasan-batasan yang harus diterjemahkan ke dalam suatu sistem pertidakamaan linier. Pembentukan sistem pertidaksamaan linier tersebut dinamakan pemodelan matematika, sedangkan sistem pertidaksamaan yang terbentuk disebut model matematika dari masalah program linier.

Di dalam pemodelan matematika untuk masalah program linier, terdapat dua macam fungsi, yaitu fungsi tujuan atau fungsi objektif objective function) dan kendala atau batasan (constraint). Fungsi tujuan merupakan fungsi yang menjelaskan tujuan atau sasaran dari pengoptimalan yang mungkin dicapai berdasarkan kendala yang ada. Sebelum anda melanjutkan membuat model matematika untuk masalah program linier.

Contoh 1#

Sebuah pabrik membuat dua jenis kursi, A dan B. mereka menjual setiap kursi dengan harga eceran Rp 650.000,00 dan Rp 1.100.000,00. Paling sedikit harus diproduksi 500 kursi. Produksi tiap kursi jenis A memerlukan 2 jam, dan jenis B memerlukan 5 jam kerja. Waktu total memproduksi kursi-kursi ini adalah 1.500 jam. Misalkan, kursi jenis A diproduksi sebanyak x buah dan jenis kursi B diproduksi y buah.

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan masalah ini,lakukanlah langkah-langkah berikut.

  • Tulislah pertidaksamaan linier dua variable untuk jumlah kursi yang diproduksi. Perhatikan kendala bahwa paling sedikit harus diproduksi kursi sebanyak 500 kursi.

x +y \geq 500

  • Tulislah pertidaksamaan linier untuk waktu total produksi. Perhatikan kendala bahwa waktu total produksi adalah 1.500 jam

2x +5y \leq 1.500

  • Tulis juga dua kendala lainnya, yaitu tiap jenis kursi tidak mungkin negatif

x\geq 0 dan y\geq0

  • Tulislah pernyataan untuk fungsi tujuan jika pabrik menginginkan memperoleh pendapatan kotor paling besar

Fungsi tujuan z = 650.000x +1.100.000y

Contoh 2#

Sebuah pabrik roti memproduksi dua jenis roti isi cokelat dan roti isi keju.pembuatan roti isi cokelat memerlukan 6 gram terigu dan 5 gram mentega,sedangkan roti isi keju memerlukan 4 gram terigu dan 5 gram mentega. Keuntungan roti isi cokelat Rp 125,00 per buah dan roti isi keju Rp 100,00 per buah. Bahan yang tersedia adalah 2.400 gram terigu dan 2.500 gram mentega. Buatlah model matematika untuk permasalahan di atas, apabila banyaknya roti isi cokelat x buah dan roti isi keju y buah.

Penyelesaian:

Langkah 1

Ada 2 jenis roti yang diproduksi, yaitu roti isi cokelat dan roti isi keju, sehingga anda mulai dengan pemisalan:

diproduksi roti isi cokelat = x buah

diproduksi roti isi keju = y buah

anda tidak mungkin membuat -2 roti, sebab pernyataan seperti ini tidak bermakna. Selanjutnya,anda peroleh dua fungsi kendala yang tidak mungkin negatif, yaitu x\geq 0 dan y\geq 0.

Langkah 2

Roti terbuat dari terigu dan mentega, sehingga fungsi kendala berikutnya pastilah berkaitan dengan persediaan terigu dan mentega.

  • 1 roti cokelat perlu 6 gram terigu dan 5 gram mentega

x roti cokelat perlu 6x gram terigu dan 5x gram mentega

  • 1 roti keju perlu 4 gram terigu dan 5 gram mentega

y roti keju perlu 4y gram terigu dan 5y gram mentega

Jadi,terigu yang diperlukan adalah ( 6x + 4y) gram dan mentega yang diperlukan adalah (5x + 5y) gram.

Persediaan terigu = 2.400 g, sehingga PtLDVnya adalah

6x+4y\leq 2.400

Persediaan mentega = 2.500 g, sehingga PtLDVnya adalah

5x+5y\leq2.500

Langkah 3

Secara lengkap, fungsi kendala dari langkah 1 dan langkah 2 memberikan model matematika sebagai berikut

6x+4y\leq2.400 …(1)

5x+5y\leq2.500 …(2)

x\geq0 …(3)

y\geq0. …(4)

Langkah 4

Adapun fungsi tujuan berkaitan dengan keuntungan menjual roti isi cokelat dan roti keju adalah sebagai berikut

  • 1 roti cokelat untung Rp 125

x roti cokelat untung 125x rupiah

  • 1 roti keju untung Rp 100

y roti keju untung 100y rupiah

Jadi,fungsi tujuan adalah z = 125x + 100y.

Fungsi tujuan inilah yang biasanya dimaksimalkan dan diminimumkan.

}
%d blogger menyukai ini: