kedudukan dari sebuah garis yang berada dekat dengan parabola memiliki tiga kemungkinan yaitu : memotong parabola tersebut di dua titik atau sering disebut memotong saja, menyinggung parabola tersebut atau bisa disebut dengan memotong parabola di satu titik, dan kemungkinan yang ketiga yaitu garis tersebut tidak memotong dan tidak menyinggung parabola tersebut.

sekarang yang menjadi permasalahannya bagaimana kita tahu bahwa kedudukan garis terhadap parabola tersebut mengalami satu diantara tiga kemungkinan di atas?. hmmm,,,,pasti teman – teman bingung kan !. ternyata kedudukan garis terhadap parabola ditentukan oleh diskriminan (D) persamaan kuadrat  gabungan. jelasnya seperti ini, periksa diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan, dari hasil pemeriksaan (waduuh bahasanya kayak dokter aja) tersebut terdapat tiga kriteria :

  1. Jika D > 0 ( dibaca jika diskriminan lebih dari nol) maka garis memotong parabola di dua titik.
  2. jika D = 0 ( dibaca jika diskriminan sama dengan nol) maka garis tersebut akan menyinggung parabola ( atau sering disebut memotong parabola di satu titik).
  3. Jika D < 0 (dibaca jika diskriminan kurang dari nol) maka garis tersebut tidak akan memotong atau menyinggung parabola

nah sekarang yang menjadi permasalahannya, apakah teman – teman masih ingat dengan Diskriminan (D) itu sendiri ?. tentunya masih ingat kan ?. Diskriminan itu rumusnya :

D=b^{2}-4ac

dengan a adalah koefesien dari x^{2}, b merupakan koefesien dari variabel x dan c adalah konstanta.

saya rasa teman – teman pasti masih bingung kan dengan penjelasan di atas. baiklah biar lebih cepat meresap, kita langsung lihat contoh soal di bawah ini !

Contoh 1 # :

Grafik 2x + y = a memotong parabola 4x^{2} – y = 0  di dua titik. tentukanlah batas nilai nilai !

Jawab :

langkah pertama kita adalah kita substitusikan garis 2 x + y = a (atau kita nyatakan persamaan garis ini ke dalam bentuk eksplisitnya, sehingga menjadi y = a – 2x) ke persamaan parabola 4x^{2} – y = 0 sehingga diperoleh persamaan kuadrat gabungan sebagai berikut :

4x^{2} – (a – 2x ) = 0

4x^{2} + 2x – a = 0

dari sini bisa kita lihat komponen persamaan kuadrat hasil penggabungan persamaan garis dan parabola adalah sebagai berikut : a = 4, b = 2, dan c = – a

kemudian kita masukkan ke rumus diskriminan (D) = b^{2} – 4ac .

D = 2^{2} – 4 .(4). (-a)

D= 4 + 16a

syarat garis memotong parabola adalah D > 0, berarti :

4 + 16a > 0

16a > -4

a > \frac{-4}{16}

a > \frac {-1}{4}

jadi, batas nilai a agar grafik tersebut memotong parabola adalah a > \frac{-1}{4}

Contoh 2 # :

Apakah garis 2x – y = \frac{-1}{2} memotong parabola y^{2} – 4x = 0 di satu titik, dua titik, atau tidak memotong sama sekali!

Jawab :

kita ubah dulu bentuk persamaan garis ke dalam persamaan eksplisit, sehingga :

2x – y = \frac{-1}{2} kita ubah menjadi  y = 2x + \frac{1}{2}

kemudian substitusikan  ke persamaan parabola :

y^{2} – 4x = 0

\left(2x+\frac{1}{2}\right)^{2}-4x=0
4x^{2}+2x+\frac{1}{4}-4x=0
4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0

dari persamaan terakhir didapat a = 4b = -2, dan c = \frac{1}{4}. kemudian nilai – nilai ini kita masukkan ke persamaan diskriminan.

D = b^{2} – 4 a. c

D = (-2)^{2} – 4. 4 . \frac {1}{4}

D = 0

Sesuai dengan tiga ketentuan di atas, karena nilai diskriminannya sama dengan Nol ( D = 0 ) maka garis tersebut menyinggung parabola atau memotong di satu titik.

kalau pertanyaannya misalnya dimana letak titik potongnya ?. untuk mencari titik potongnya kita tinggal cari himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat hasil substitusi kedua persamaan, sehingga :

4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0

\left(2x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0

2x-\frac{1}{2}=0

x=\frac{1}{4}

nilai x = \frac{1}{4} kemudian kita substitusi ke persamaan garis atau ke persamaan parabola, yang mana saja boleh. itu akan memberikan hasil yang sama. dalam contoh ini nilai x kita substitusi ke persamaan parabola ;

y^{2} – 4x = 0

y^{2} – 4. \frac{1}{4} = 0

y^{2} – 1 = 0

y^{2} = 1

y = 1

berarti koordinat titik singgung garis dengan parabola adalah di titik ( \frac{1}{4}, 1)

Cara ini juga berlaku untuk mencari titik potong untuk grafik yang memotong parabola di dua titik (D>0). cuma dalam D > 0 kita akan mensubstitusi dua nilai x ke persamaan parabola.

Semoga artikel ini bermanfaat untuk teman – teman. mohon koreksinya jika ada kesalahan. Salam sukses.

Tinggalkan Balasan

Post Navigation