Kecepatan dan Percepatan Partikel dalam Gelombang Sinusoidal

Kita dapat menentukan kecepatan transversal sembarang partikel yang bergerak dalam gelombang transversal dengan menggunakan fungsi gelombang. Ada perbedaan antara cepat rambat gelombang dan kecepatan transversal. Untuk membedakan keduanya, cepat rambat gelombang diberi simbol v, sedangkan kecepatan transversal diberi simbol $latex v_y$ Untuk menentukan kecepatan transversal $latex v_y$ di titik tertentu, kita mendiferensialkan parsial fungsi gelombang y(x,t) terhadap t. Jika fungsi gelombangnya berbentuk $latex y(x,t)=A\sin(\omega t-kx)$, maka kecepatan transversal didefinisikan sebagai

$latex v_y(x,t)=\frac{\delta y(x,t)}{\delta t}=\omega A\cos(\omega t-kx)$ ……..(i)

Ungkapan $latex \frac{\delta y(x,t)}{\delta t}$ disebut diferensial parsial y(x,t) terhadap t, yaitu diferensial y(x,t) terhadap t dengan mempertahankan x tetap. Persamaan (i) menunjukkan bahwa kecepatan transversal berubah terhadap waktu. Kecepatan transversal mencapai maksimum ketika $latex \cos (\omega t-kx)=1$ sehingga $latex v_{y,maks}=\omega A$

Also Read:

• Kemagnetan dan medan magnet
• Gerak Melingkar
• Frekwensi dan Panjang gelombang pada sebuah Dawai

Percepatan partikel dalam gelombang sinusoidal merupakan diferensial parsial kedua dari $latex y (x, t) terhadap t. Jadi,

$latex a_y(x,t)=\frac{\delta^2y(x,t)}{\delta^2t}=-\omega^2 A\sin(\omega t-kx)=-\omega^2 y(x,t)$ ………….(ii)

Kita dapat juga menentukan diferensial parsial kedua terhadap x. Jika hal ini dilakukan, diperoleh

$latex \frac{\delta^2y(x,t)}{\delta^2x}=-k^2A\sin (\omega t-kx)=-k^2y(x,t)$………(iii)

Ungkapan $latex \frac{delta^2y(x,t)}{\delta x^2}$ menunjukkan kelengkungan dawai. Berdasarkan Persamaan (ii) dan Persamaan (iii) serta mengingat $latex \omega=vk$ diperoleh

$latex \frac{\delta^2y(x,t)/\delta t^2}{\delta^2y(x,t)/\delta x^2}=\frac{-\omega^2y(x,t)}{-k^2y(x,t)}=\frac{\omega^2}{k^2}=v^2$,

Atau

$latex \frac{\delta^2y(x,t)}{\delta x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\delta^2y(x,t)}{\delta t^2}$ ……..(iv)

 

Persamaan (iv) disebut persamaan gelombang yang merupakan salah satu persamaan yang sangat penting dalam fisika.

Also Read : Deskripsi Matematis Gelombang Mekanis

Gambar di bawah menunjukkan arah kecepatan transversal $latex v_y$ dan percepatan transversal yang diberikan oleh Persamaan (i) dan Persamaan (ii) untuk beberapa titik pada dawai. Titik-titik di mana dawai itu memiliki kelengkungan ke atas, maka percepatan di titik-titik itu berharga positif. Sebaliknya, titik-titik di mana dawai itu memiliki kelengkungan ke bawah, maka percepatan di titik-titik itu berharga negatif. Perlu ditegaskan lagi bahwa $latex v_y\text{ dan }a_y$ adalah kecepatan dan percepatan transversal dari titik-titik pada dawai. Titik-titik bergerak sepanjang arah sumbu-y, bukan sepanjang arah perambatan gelombang.

Gambar : Arah kecepatan transversal $latex v_y$ dan percepatan transversal $latex a_y$ pada beberapa titik dalam dawai.

Contoh Soal :

Fungsi gelombang transversal yang merambat sepanjang dawai diberikan oleh persamaan $latex y(x,t)=3\sin \pi(t-4x)$ dengan x dan y dalam cm dan t dalam sekon. (a) Tentukan panjang gelombang dan periode gelombang transversal ini. (b) Tentukan kecepatan transversal dan percepatan transversal pada saat t. (c) Hitunglah kecepatan transversal dan percepatan transversal pada titik x = 0,25 cm ketika t = 0 (d) Hitunglah kecepatan transversal dan percepatan transversal maksimumnya.

Penyelesaian

• Jika fungsi gelombang $latex y(x,t)=3\sin \pi(t-4x)$ dibandingkan dengan Persamaan gelombang, yaitu $latex y(x,t)=A\sin (\omega t-kx)=A\sin \pi (\frac{2t}{T}-\frac{2x}{\lambda})$ diperoleh panjang gelombang: $latex 4=\frac{2}{\lambda},\lambda=0,5\text{ cm }$, Peride T = 2 Sekon.
• Kecepatan transversal: $latex v_y=\frac{\delta y(x,t)}{\delta t}=3\pi \cos \pi (t-4×0$

Percepatan transversal $latex a_y=\frac{\delta^2y(x,t)}{\delta t^2}=-3\pi^2\sin \pi(t-4x)$

• Kecepatan transversal dan percepatan transversal pada cm ketika dapat dihitung dengan substitusi cm dan t = 0 ke dalam jawaban (b):

$latex -v_y=3\pi \cos (-\pi )=-3\pi\text{ cm/s },a_y=-3\pi^2\sin (-\pi )=0$

• Kecepatan transversal maksimum, $latex v_y=3\pi \text{ cm/s}$.

Percepatan transversal maksimum, $latex a_{y,maks}=-3\pi^2\text{ }cm/s^2$.