Irisan dan Gabungan Himpunan

0
13774

Irisan

Irisan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B. secara matematis ditulis :

A\cap B=\left\{ x|x\in A\textrm{ dan }x\in B\right\}

Dilihat dari persekutuan dua himpunan, irisan dua himpunan dapat ditentukan:

  • Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Jika A\subseteq B maka A\cap B=A dan berlaku sebaliknya

  • Himpunan yang sama

Jika A = B, maka A\cap B=(A=B)

  • Himpunan yang saling lepas

Jika A // B, maka A\cap B={..} dan berlaku sebaliknya

  • Himpunan yang tidak saling lepas

Contoh Soal 1 # :

Diberikan A = {1, 2, 3, 4}, B ={2, 4, 6, 8}, dan C ={3, 4, 5, 7}. Tentukanlah:

\text{a)}.A\cap B

\text{b)} A\cap C

\text{c).}B\cap C

\text{d).}(A\cap B)\cap C

\text{e)}.A\cap (B\cap C)

Jawab:

a. {2, 4}     c. {4}         e. {4}

b. {3, 4}      d. {4}

Contoh Soal 2 # :

Perhatikan gambar dibawah ini!

irisan1.png

Tentukanlah:

a. S

b. B

\text{c.}A\cap B

\text{d.}A\cap C

\text{e.}B\cap C

\text{f.}A\cap B\cap C

Jawab:

a. S = {a, b, c, d, e, f, g}

b. B = {a, b, d, f}

\text{c.}A\cap B={a,b}

\text{d.}A\cap C={b, e}

\text{e.}B\cap C={b, f}

\text{f.}A\cap B\cap C={b}

Baca Juga : Menyelesaikan soal cerita irisan suatu himpunan

Gabungan

Gabungan dari A dan B adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada A atau B. secara matematis ditulis: A\cup B=\left\{ x\mid x\in A\textrm{\textrm{ }atau}\textrm{ }x\in B\right\}

Dilihat dari persekutuan dua himpunan, gabungan dua himpunan dapat ditentukan:

    • Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Jika A\subseteq B maka A\cup B=B dan berlaku sebaliknya

    • Himpunan yang sama

Jika A = B, maka A\cup B=(A=B)

    • Himpunan yang saling lepas

Jika A//B, maka A\cup B=\left\{ x\mid x\in A\textrm{\textrm{ }atau}\textrm{ }x\in B\right\} dan berlaku sebaliknya

    • Himpunan yang tidak saling lepas

Jika A\supset\subset B, maka A\cup B={x\mid x\textrm{ }\in \textrm{ }A\textrm{, }x\textrm{ }\in \textrm{ }B\textrm{ atau }x\textrm{ }\in \textrm{ }(A\cap B)}

Contoh Soal 1:

Diketahui A = {2, 3, 5}, B ={1, 3, 5, 7}, dan C = {7, 9}, tentukanlah:

\text{1.}A\cup B

\text{2.}A\cup B\cup C

\text{3.}A\cap (B\cup C)

\text{4.}(A\cap B)\cup C

\text{5.}(A\cup B)\cap (A\cup C)

Jawab:

\text{1.}A\cup B={1,2,3,5,7}

\text{2.}A\cup B\cup C={1,2,3,5,7,9}

\text{3.}A={2,3,5}\text{  dan  }B\cup C={1,3,5,7,9}\text{  maka }A\cap (B\cup C)={3,5}

\text{4.}A\cap B={3,5}\text{  dan  }C={7,9}\text{   maka  }(A\cap B)\cup C={3,5,7,9}

\text{5.}A\cup B={1,2,3,5,7}\text{  dan }A\cup C={2,3,5,7,9}\text{  maka }(A\cup B)\cap (A\cup C)={2,3,5,7}

Contoh Soal 2 :

Perhatikan gambar dibawah ini!

irisan 2.png

Tentukanlah:

\text{1.}A\cup B

\text{2.}A\cap (B\cup C)

\text{3.}(B\cap C)\cup A

\text{4.}(A\cup B)\cap (B\cup C)

\text{5.banyaknya himpunan bagian dari}A\cap (B\cup C)

Jawab:

\text{1.}A\cup B={a,b,c,d,e,f,g}

\text{2.}A={a,b,c,e}\text{  dan }B\cup C={a,b,d,e,f,g}\text{ maka }A\cap (B\cup C)={a,b,e}

\text{3.}B\cap C={b,f}\text{  dan }A={a,b,c,e}\text{ maka }(B\cap C)\cup A={a,b,c,e,f}

\text{4.}(A\cup B)={a,b,c,d,e,f}\text{ dan }(B\cup C)={a,b,d,e,f,g}\text{  maka }(A\cup B)\cap (B\cup C)={a,b,d,e,f}

\text{5.}A\cap (B\cup C)={a,b,e},\text{  maka }n(A\cap (B\cup C=3\text{ sehingga banyaknya himpunan bagian adalah  }2^{3}=8

Komplemen

Jika S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan A = {3, 4, 5}, maka

A\subset S

himpunan {1, 2, 6, 7} juga disebut himpunan bagian dari himpunan S. himpunan tersebut adalah himpunan himpunan komplemen atau pelengkap dari himpunan A atau disebut komplemen dari A yang dibaca “bukan A”.

Dalam himpunan komplemen berlaku:

\text{A}\cap A'={..}

A\cup A'=S

n(Q) + n(Q’) =n(s)

Komplemen dari S adalah S’, karena S adalah himpunan semesta maka S’ adalah himpunan kosong dan ditulis S’ = {…}, sebaliknya {…}’ = S, sehingga berlaku:

  • {…}’ = S
  • S’ = {…}
  • (A’)’ = A

Selisih Dua Himpunan

Komplemen A terhadap B ditulis B – A adalah himpunan yang ada di B tetapi tidak ada di A, sebaliknya komplemen B terhadap A ditulis A – B adalah himpunan yang di A tetapi tidak ada di B. secara umum berlaku:

A-B=\left\{ x\mid x\in A\textrm{ dan }x\notin B\right\}

n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)

A’ = S – A

n(S-A)=n(A')=n(S)-n(S\cap A)

Silahkan tuliskan Komentar teman - teman disini.