Irisan dan Gabungan Himpunan

Irisan

Irisan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B. secara matematis ditulis :

$latex A\cap B=\left\{ x|x\in A\textrm{ dan }x\in B\right\}$

Also Read:

Dilihat dari persekutuan dua himpunan, irisan dua himpunan dapat ditentukan:

  • Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Jika $latex A\subseteq B$ maka $latex A\cap B=A$ dan berlaku sebaliknya

  • Himpunan yang sama

Jika A = B, maka $latex A\cap B=(A=B)$

  • Himpunan yang saling lepas

Jika A // B, maka $latex A\cap B={..}$ dan berlaku sebaliknya

  • Himpunan yang tidak saling lepas

Contoh Soal 1 # :

Diberikan A = {1, 2, 3, 4}, B ={2, 4, 6, 8}, dan C ={3, 4, 5, 7}. Tentukanlah:

a). $latex A\cap B$  c). $latex B\cap C$   e). $latex A\cap (B\cap C)$

b). $latex A\cap C$  d).$latex (A\cap B)\cap C$

Jawab:

a. {2, 4}     c. {4}         e. {4}

b. {3, 4}      d. {4}

Contoh Soal 2 # :

Perhatikan gambar dibawah ini!

irisan1.png

Tentukanlah:

a. S       c. $latex A\cap B$       e. $latex B\cap C$

b. B      d. $latex A\cap C$          f. $latex A\cap B\cap C$

Jawab:

a. S = {a, b, c, d, e, f, g}    c. $latex A\cap B={a, b}$     e. $latex B\cap C={b, f}$

b. B = {a, b, d, f}               d. $latex A\cap C={b, e}$   f. $latex A\cap B\cap C={b}$

 

Gabungan

Gabungan dari A dan B adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada A atau B. secara matematis ditulis: $latex A\cup B=\left\{ x\mid x\in A\textrm{\textrm{ }atau}\textrm{ }x\in B\right\} $

Dilihat dari persekutuan dua himpunan, gabungan dua himpunan dapat ditentukan:

    • Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Jika $latex A\subseteq B$ maka $latex A\cup B=B$ dan berlaku sebaliknya

    • Himpunan yang sama

Jika A = B, maka $latex A\cup B=(A=B)$

    • Himpunan yang saling lepas

Jika A//B, maka $latex A\cup B=\left\{ x\mid x\in A\textrm{\textrm{ }atau}\textrm{ }x\in B\right\}$ dan berlaku sebaliknya

    • Himpunan yang tidak saling lepas

Jika $latex A\supset\subset B$, maka $A\cup B={x\mid x\textrm{ }\in \textrm{ }A\textrm{, }x\textrm{ }\in \textrm{ }B\textrm{ atau }x\textrm{ }\in \textrm{ }(A\cap B)}$

Contoh Soal 1:

Diketahui A = {2, 3, 5}, B ={1, 3, 5, 7}, dan C = {7, 9}, tentukanlah:

  1. $latex A\cup B$
  2. $latex A\cup B\cup C$
  3. $latex A\cap (B\cup C)$
  4. $latex (A\cap B)\cup C$
  5. $latex (A\cup B)\cap (A\cup C)$(AB) (AC)

Jawab:

  1. $latex A\cup B$ = {1, 2, 3, 5, 7}
  2. $latex A\cup B\cup C$ = {1, 2, 3, 5, 7, 9}
  3. A = {2, 3, 5} dan $latex B\cup C$ = {1, 3, 5, 7, 9} maka $latex A\cap (B\cup C)$ = {3, 5}
  4. $latex A\cap B$ = {3, 5} dan C = {7, 9} maka $latex (A\cap B)\cup C$ = {3, 5, 7, 9}
  5. $latex A\cup B$ = {1, 2, 3, 5, 7} dan $latex A\cup C$ = {2, 3, 5, 7, 9} maka $latex (A\cup B)\cap (A\cup C)$ = {2, 3, 5, 7}

Contoh Soal 2 :

Perhatikan gambar dibawah ini!

irisan 2.png

Tentukanlah:

  1. $latex A\cup B$
  2. $latex A\cap (B\cup C)$
  3. $latex (B\cap C)\cup A$
  4. $latex (A\cup B)\cap (B\cup C)$
  5. banyaknya himpunan bagian dari $latex A\cap (B\cup C)$

Jawab:

  1. $latex A\cup B$ = {a, b, c, d, e, f, g}

  2. A = {a, b, c, e} dan $latex B\cup C$ = {a, b, d, e, f, g} maka $latex A\cap (B\cup C)$ = {a, b, e}

  3. $latex B\cap C$ = {b, f} dan A = {a, b, c, e} maka $latex (B\cap C)\cup A$ = {a, b, c, e, f}

  4. $latex (A\cup B)$ = {a, b, c, d, e, f} dan $latex (B\cup C)$ = {a,b,d,e,f,g} maka $latex (A\cup B)\cap (B\cup C)$ = {a,b,d,e,f}

  5. $latex A\cap (B\cup C)$ = {a, b, e}, maka $latex n(A\cap (B\cup C$ = 3 sehingga banyaknya himpunan bagian adalah $latex 2^{3}=8$

Komplemen

Jika S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan A = {3, 4, 5}, maka $latex A\subset S$. himpunan {1, 2, 6, 7} juga disebut himpunan bagian dari himpunan S. himpunan tersebut adalah himpunan himpunan komplemen atau pelengkap dari himpunan A atau disebut komplemen dari A yang dibaca “bukan A”.

Dalam himpunan komplemen berlaku:

  • A $latex \cap$ A’={..}
  • A $latex \cup$ A’= S
  • n(Q) + n(Q’) =n(s)

Komplemen dari S adalah S’, karena S adalah himpunan semesta maka S’ adalah himpunan kosong dan ditulis S’ = {…}, sebaliknya {…}’ = S, sehingga berlaku:

  • {…}’ = S
  • S’ = {…}
  • (A’)’ = A

Selisih Dua Himpunan

Komplemen A terhadap B ditulis B – A adalah himpunan yang ada di B tetapi tidak ada di A, sebaliknya komplemen B terhadap A ditulis A – B adalah himpunan yang di A tetapi tidak ada di B. secara umum berlaku:

  • $latex A-B=\left\{ x\mid x\in A\textrm{ dan }x\notin B\right\} $
  • $latex n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)$
  • A’ = S – A
  • n ( S – A ) = n(A’) = n(S) – $latex n(S\cap A)$

Irisan dan Gabungan Himpunan | Made Astawan | 4.5