Induksi Matematika - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Induksi Matematika

Induksi Matematik

  • Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.

Contoh : Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan: “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2”. Buktikan bahwa p(n) benar!

Contoh lainnya:

Also Read:

  1. Setiap bilangan bulat positif n (n 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.
  2. Untuk semua n 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3.
  3. Untuk membayar biaya pos sebesar n sen dolar (n 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan 5 sen dolar.
  4. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya sekali. Jika ada n orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n – 1)/2.

5. Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari sebuah himpunan yang beranggotakan n elemen adalah 2n

  • Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.
  • Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

Prinsip Induksi Sederhana.

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

  1. p(1) benar, dan
  2. untuk semua bilangan bulat positif n 1, jika p(n) benar maka p(n + 1) juga benar.
  • Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi.
  • Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi.
  • Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

GB 1.png

Contoh 1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa

1(1!) + 2(2!) + … + n(n!) = (n + 1)! – 1

Contoh 2. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.

Penyelesaian:

(i) Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

(ii) Langkah induksi: Andaikan untuk n 1 pernyataan

 

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2

juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … +

(2n – 1)] + (2n + 1)

= n2 + (2n + 1)

= n2 + 2n + 1

= (n + 1)2

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.

Prinsip Induksi yang Dirampatkan

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

  1. p(n0) benar, dan
  2. untuk semua bilangan bulat n n0, jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar.

Contoh 3. Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

Penyelesaian:

(i) Basis induksi. Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh:

20 = 20+1 – 1.

Ini jelas benar, sebab 20 = 1 = 20+1 – 1

= 21 – 1

= 2 – 1

= 1

(ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n,

20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa

20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 – 1

juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:

20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1

= (2n+1 – 1) + 2n+1 (dari hipotesis

induksi)

= (2n+1 + 2n+1) – 1

= (2 . 2n+1) – 1

= 2n+2 – 1

= 2(n+1) + 1 – 1

Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

Contoh 4. Buktikan dengan induksi matematik bahwa pada sebuah himpunan beranggotakan n elemen, banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari himpunan tersebut adalah 2n.

Contoh 5. Buktikan pernyataan “Untuk membayar biaya pos sebesar n sen (n 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar.

Penyelesaian:

(i) Basis induksi. Untuk membayar biaya pos 8 sen dapat digunakan 1 buah perangko 3 sen dan 1 buah perangka 5 sen saja. Ini jelas benar.

(ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa untuk membayar biaya pos sebesar n (n 8) sen dapat digunakan perangko 3 sen dan 5 sen (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa untuk membayar biaya pos sebesar n + 1 sen juga dapat menggunakan perangko 3 sen dan perangko 5 sen. Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa:

    1. Kemungkinan pertama, misalkan kita membayar biaya pos senilai n sen dengan sedikitnya satu perangko 5 sen. Dengan mengganti satu buah perangko 5 sen dengan dua buah perangko 3 sen, akan diperoleh susunan perangko senilai n + 1 sen.
    2. Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3 sen semuanya. Karena n 8, setidaknya harus digunakan tiga buah perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah perangko 3 sen dengan 2 buah perangko 5 sen, akan dihasilkan nilai perangko n + 1 sen.

 

Contoh 6. Sebuah ATM (Anjungan Tunai Mandiri) hanya menyediakan pecahan uang Rp 20.000,- dan Rp 50.000, -. Kelipatan uang berapakah yang dapat dikeluarkan oleh ATM tersebut? Buktikan jawaban anda dengan induksi matematik.

}
%d blogger menyukai ini: