Gerak Parabola - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Gerak Parabola

Gagasan untuk menganalisis gerak parabola telah dikemukakan oleh Galileo dalam tulisan berjudul : “ discources on two new Sciences”. Dia menyatakan bahwa gerak parabola dapat dianalisis dengan meninjau gerak lurus beraturan pada sumbu horizontal (sumbu x) dan gerak lurus berubah beraturan pada sumbu vertical ( sumbu y) secara terpisah. Tiap gerak ini tidak saling mempengaruhi tetapi gabungannya tetap menghasilkan gerak parabola. Perhatikanlah gambar berikut !

Seperti telah kita ketahui, Galileo menyatakan bahwa gerak parabola pada sumbu x merupakan gerak lurus beraturan sedangkan gerak pada sumbu y merupakan gerak lurus berubah beraturan. Sehingga, dari gambar kita dapat memperoleh persamaan berikut.

Persamaan pada sumbu x adalah :

Also Read:

vx = vox = vo cos \alpha

x = vox t = vo cos \alpha t

Persamaan pada sumbu y adalah :

vy = voy – gt = vo sin \alpha – gt

y = voy t – \frac{1}{2} gt2= (vo sin \alpha ) t – \frac{1}{2} gt2

untuk mengetahui besar kecepatan dan arah kecepatan benda pada saat t, maka kita pergunakan komponen kecepatan v, yaitu vx untuk kecepatan pada sumbu x dan vy untuk kecepatan sumbu y, sehingga diperoleh persamaan berikut :

v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}

Arah kecepatan terhadap sumbu x dapat ditentukan sebagai berikut :

tan \theta = \frac{v_{y}}{v_{x}}

sesuai dengan gambar, jika kita perhatikan, ketika benda bergerak naik dari titik awal O mengikuti gerak lintasan parabola tersebut menuju ke titik tertinggi H, maka semakin ke atas kecepatan dalam arah sumbu y semakin berkurang sehingga pada saat benda mencapai titik tertinggi H kecepatannya sama dengan nol sedangkan kecepatan dalam arah sumbu x tidak mengalami perubahan (tetap). Komponen kecepatan benda pada saat di titik tertinggi (titik H) dapat dituliskan sebagai berikut :

vy = 0

vx = vox = vo cos \alpha

karena pada titik tertinggi H, vy = 0 maka kecepatan pada titik tertinggi vH adalah :

vH = vx = vox

waktu yang dibutuhkan untuk mencapai titik tertinggi H (tinggi maksimum) dapat ditentukan sebagai berikut :

vy = voy – gt

0 = vo sin \alpha – gtH

g tH = vo sin \alpha

tH = \frac{v_{o} sin \alpha}{g}

dengan tH = waktu untuk mencapai titik tertinggi.

Sedangkan untuk mencapai titik terjauh diperlukan waktu dua kali dari waktu untuk mencapai titik tertinggi. Maka untuk titik terjauh berlaku :

tA = 2 tH

tA = 2 \frac{v_{o} sin \alpha}{g}

setelah kita mengetahui waktu yang dibutuhkan untuk mencapai titik tertinggi H (tH ), kita dapat menentukan koordinat titik tertinggi ( titik puncak) tersebut dengan mensubstitusikan tH ke dalam persamaan x = vox t dan y = voy t – \frac{1}{2}gt2.

Untuk koordinat mendatar (x)

xH = vox tH

xH = (vo cos \alpha) \left(\frac{v_{o}cos\alpha}{g}\right)

xH = \frac{v_{o}^{2}}{2g}\left(2sin\alpha cos\alpha\right)

xH = \frac{v_{0}^{2}}{2g} sin 2 \alpha

Untuk koordinat Vertikal (y)

yH = voy tH\frac{1}{2} gtH2

yH = (vo sin \alpha)\left(\frac{v_{o}sin\alpha}{g}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{v_{o}sin\alpha}{g}\right)^{2}

y_{H}=\frac{2v_{o}^{2}sin^{2}\alpha}{2g}-\frac{v_{o}^{2}sin^{2}\alpha}{2g}

y_{H}=\frac{v_{o}^{2}}{2g}sin^{2}\alpha

jadi, koordinat titik tertinggi (titik puncak) H adalah :

H(x_{H},y_{H})\Leftrightarrow H\left(\frac{v_{o}^{2}}{2g}sin^{.}2\alpha,\frac{v_{o}^{2}}{2g}sin^{2}\alpha\right)

Sedangkan untuk menentukan koordinat titik terjauh dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan ta ke dalam persamaan x = vox t dan y = voy t – \frac{1}{2}gt2.

Sehingga koordinat titik terjauh didapat :

A(x_{A},y_{A})\longleftrightarrow A\left(\frac{v_{o}^{2}}{g}sin^{.}2\alpha,0\right)

Kalau kita perhatikan persamaan x_{H}=\frac{v_{o}^{2}}{2g}sin^{.}2\alpha dan x_{A}=\frac{v_{o}^{2}}{g}sin^{.}2\alpha, maka :

xA = 2x

dari persamaan tersebut dapat dikatakan bahwa jarak terjauh ( jarak horizontal dari titik terjauh) sama dengan dua kali jarak horizontal dari titik tertinggi.

Contoh 1 # :

Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 40 m/s, dan sudut elevasi 600 dari atas tanah yang mendatar, gesekan udara diabaikan dan percepatan gravitasi g = 10 m/s2. Tentukanlah :

a).waktu yang dibutuhkan peluru sampai di titik tertinggi

b).Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru

c).Jarak terjauh yang dapat dicapai peluru

Jawab :

Diketahui :

vo = 40 m/s

\alpha = 600

g = 10 m/s2

a). t_{H}=\frac{v_{o}sin\alpha}{g}=\frac{40sin^{^{.}}60}{10}=\frac{40\times\frac{1}{2}\sqrt{3}}{10}=2\sqrt{3}s

jadi, waktu yang dibutuhkan peluru untuk sampai di titik tertingginya adalah 2\sqrt{3} s

b). Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru

y_{H}=\frac{v_{o}^{2}sin^{2}\alpha}{2g}=\frac{40^{2}sin^{2}60^{0}}{2(10)}m=\frac{(1600)(\frac{3}{4})}{20}m=60m

c). Jarak terjauh yang dapat dicapai peluru adalah

x=\frac{v_{o}^{2}}{g}sin^{.}2\alpha=\frac{v_{o}^{2}sin\alpha cos\alpha}{g}

x=\frac{\left(40\right)^{2}\left(sin^{.}60^{0}\right)\left(cos^{.}60^{o}\right)}{10}m=\frac{\left(1600\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)\left(\frac{1}{2}\right)}{10}=40\sqrt{3}m

Contoh 2 # :

Sebuah benda dilemparkan dari puncak sebuah gedung yang tingginya 40 m. kecepatan awal benda 20 m/s dan sudut elevasi 300 . tentukan jarak terjauh dalam arah mendatar dihitung dari dasar gedung !

Penyelesaian :

Diketahui : y = 40 m

v0 = 20 m/s

\alpha = 300

Ditanya : xa = … ?

Jawab :

Karena benda dilemparkan dari puncak sebuah gedung berarti jarak terjauh benda dalam arah mendatar adalah setengah dari jarak terjauh sebuah parabola. Sehingga :

xa = \frac{1}{2}\frac{v_{0}^{2}}{g}sin^{.}2\alpha=\frac{1}{2}\frac{20^{2}}{10}sin^{.}2.30=\frac{1}{2}\frac{400}{10}sin^{.}60=10\sqrt{3}m

 

 

}
%d blogger menyukai ini: