Garis Singgung yang melalui titik pada elips - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Garis Singgung yang melalui titik pada elips

Elips mempunya  dua macam garis singgung yang akan dibicarakan, yaitu garis singgung yang melalui salah satu titik pada ellips dan garis singgung yang mempunyai kemiringan tertentu.pada artikel kali ini kita hanya membahas garis singgung yang melalui titik pada elips

Persamaan Garis Singgung yang melalui titik di Ellips.

Misalkan P(x1 , y1) titik pada ellips

Also Read:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ………………… (1)

maka titik P akan memenuhi persamaan (1) yaitu

\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1 ………………..(2)

Persamaan garis singgung ellips di titik P merupakan anggota keluarga garis yang melalui P(x1, y1) dan berbentuk:

y = m(xx1) + y1 ………………………………(3)

Jika persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (1) maka akan diperoleh persamaan kuadrat dalam x yaitu:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(m\left(x-x_{1}\right)+y_{1}\right)^{2}}{b^{2}}=1

(a2 + b2)x2 – 2a2(m2x1my1)x + a2(m2x12 + y12 – 2mx1y1b2) = 0 ……………………….(4)

Karena garis (3) menyinggung kurva (1) maka dari pengetahuan aljabar haruslah persamaan (4) mempunyai akar yang sama. Hal ini berarti nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas bernilai nol, yaitu

[2a2(m2x1my1)]2 – 4(a2 + b2)a2(m2x12 + y12 – 2mx1y1b2) = 0

(a2x12)m2 + 2x1y1m + (b2y12) = 0

a^{2}\left(1-\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}\right)m^{2}+2x_{1}y_{1}m+b^{2}\left(1-\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}\right)=0

Substitusi persamaan (2) ke persamaan terakhir akan memberikan persamaan kuadrat dalam m yaitu

a^{2}\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}m^{2}+2x_{1}y_{1}m+b^{2}\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}=0……………………… (5)

Dari persamaan (5) diperoleh selesaian untuk m yaitu

m=-\frac{x_{1}}{a^{2}}\frac{b^{2}}{y_{1}} (6)

Jika persamaan (6) disubstitusikan ke persamaan (3) diperoleh persamaan garis singgung ellips di titik P yaitu

\frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} …………………………………(7)

 

Dengan persamaan (2) persamaan garis singgung direduksi menjadi

\frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1 …………………………….(8)

Apabila titik P(x1, y1) tidak terletak pada lingkaran, maka persamaan (8) disebut persamaan polar terhadap titik P dan titik P disebut titik polar.

Jika ellips dalam bentuk baku yang berpusat di (h, k), yaitu

\frac{\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}=1………………..(9)

maka persamaan garis singgung ellips dengan persamaan berbentuk (9) di titik P(x1, y1) yang terletak di ellips tersebut dapat diperoleh dari persamaan (8) dengan mentranslasikan sumbu koordinat sedemikian hingga pusat sumbu O(0, 0) bergeser ke titik O’(–h, –k).

Misalkan sumbu baru hasil translasi adalah X’ dan Y’, dan koordinat baru adalah x’ dan y’, maka hubungan koordinat baru dan koordinat lama adalah:

x = x’ – h dan y = y’ – k ………………………..(10)

Koordinat titik P(x1, y1) juga mengalami perubahan terhadap sistem koordinat baru yaitu

x1 = x1’ – h dan y = y1’ – k …………………….(11)

Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (10) dan (11) ke persamaan (8) akan diperoleh

\frac{\left(x_{1}-h\right)\left(x-h\right)}{a^{2}}+\frac{\left(y_{1}-k\right)\left(y-k\right)}{b^{2}}=1 ………………………………….(12)

Dengan cara yang sama dapat ditentukan persamaan garis singgung ellips dengan persamaan

\frac{\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}=1 ……………………..(13)

di titik P(x1, y1) yang terletak pada ellips tersebut diberikan oleh persamaan

\frac{\left(y_{1}-k\right)\left(y-k\right)}{a^{2}}+\frac{\left(x_{1}-h\right)\left(x-h\right)}{b^{2}}=1 ………………………………..(14)

Persamaan (12) jika dijabarkan lebih lanjut akan menghasilkan

b2x1x + a2y1yb2h(x1 + x) – a2k(y1 + y) + (b2h2 + a2k2a2b2) = 0 ……………………….(15)

Sedangkan penjabaran persamaan (9) dalam bentuk umum adalah

b2x2 + a2y2 – 2b2hx – 2a2ky + (b2h2 + a2k2a2b2) = 0 …………………………..(16)

Dengan memperhatikan persamaan (15) dan (16) maka secara umum dapat disimpulkan bahwa persamaan garis singgung ellips dalam bentuk umum

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

di titik (x1, y1) yang terletak pada ellips tersebut diberikan oleh:

Ax1x + Cy1y + ½ D(x1 + x) + ½ E(y1 + y) + F = 0 …………………………..(17)

Untuk memudahkan mengingat, bahwa persamaan garis singgung ellips dalam bentuk umum di sembarang titik (x1, y1) pada ellips dapat ditemukan dengan cara mengganti suku-suku pada persamaan sebagai berikut:

x2 diganti dengan x1x

y2 diganti dengan y1y

x diganti dengan ½(x1 + x)

y diganti dengan ½(y1 + y)

Harus diingat bahwa cara di atas dapat dilakukan hanya jika titik (x1, y1) berada pada ellips. Akan tetapi metoda di atas juga dapat digunakan sebagai metoda alternatif untuk mencari persamaan garis singgung ellips yang melalui sebuah titik di luar ellips tersebut.

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis singgung ellips x2 + 4y2 = 40 di titik (2, 3).

Jawab:

x2 + 4y2 = 40

\frac{x^{2}}{40}+\frac{y^{2}}{10}=1

Dengan persamaan (8) diperoleh persamaan garis singgung yang dicari, yaitu

\frac{2x}{40}+\frac{3y}{10}=1

x + 6y – 20 = 0

 Grafik persamaan ellips dan garis singgungnya dapat dilihat di gambar berikut

 

Contoh 2:

Tentukan persamaan garis singgung ellips 9x2 + 4y2 – 18x + 2y – 30 = 0 di titik (2, –3).

Jawab:

Dapat diperlihatkan bahwa titik (2, –3) terletak pada ellips tersebut. Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (17), persamaan garis singgung yang dicari adalah

92 x + 4(–3)y – ½18(2 + x) + ½2(–3 + y) – 30 = 0

9x – 11y – 51 = 0

Contoh 3:

Tentukan persamaan garis singgung ellips 9x2 + 2y2 – 18x + 4y – 7 = 0 yang melalui titik (0, 2).

Jawab:

Jelas bahwa titik (0, 2) tidak terletak pada ellips tersebut. Dalam hal ini kita tidak bisa menggunakan persamaan (17) secara langsung. Misalkan (x1, y1) adalah titik singgung dari garis singgung ellips yang melalui (0, 2). Maka persamaan garis singgung yang dicari dalam bentuk

9x1x + 4y1y – ½18(x1 + x) + ½2(y1 + y) – 7 = 0

–9x1x + 4y1y – 9x1 – 9x + y1 + y – 7 = 0 …………………………….(18)

Karena garis singgung melalui titik (0, 2), maka persamaan di atas harus memenuhi koordinat (0, 2), sehingga

–9x10 + 4y12 – 9x1 – 90 + y1 + 2 – 7 = 0

y1 = x1 + 5/9 ……………………………….(19)

Tetapi titik (x1, y1) berada pada ellips, akibatnya berlaku hubungan

9x12 + 4y12 –18x1 + 2y1 – 7 = 0 ………………….(20)

Substitusi persamaan (19) ke (20) diperoleh persamaan kuadrat dalam x1,

1053x2 – 936x – 377 = 0

yang memberikan penyelesaian untuk x_{1}=\frac{4}{9}\pm\frac{\sqrt{5}}{3} . Dengan demikian juga diperoleh nilai y_{1}=1\pm\frac{\sqrt{5}}{3}. Jadi koordinat titik-titik singgungnya pada ellips adalah \left(\frac{4}{9}+\frac{\sqrt{5}}{3},1+\frac{\sqrt{5}}{3}\right) dan \left(\frac{4}{9}-\frac{\sqrt{5}}{3},1-\frac{\sqrt{5}}{3}\right). Selanjutnya dengan persamaan (17) dapat diterapkan pada kasus ini untuk mendapatkan persamaan garis singgung yang dicari atau mensubstitusikan nilai-nilai (x1, y1) ke persamaan (18). Terdapat dua garis singgung yang dicari.

Pertama yang melalui titik \left(\frac{4}{9}+\frac{\sqrt{5}}{3},1+\frac{\sqrt{5}}{3}\right) Adalah

-9\left(\frac{4}{9}+\frac{\sqrt{5}}{3}\right)x+4\left(1+\frac{\sqrt{5}}{3}\right)y-9\left(\frac{4}{9}+\frac{\sqrt{5}}{3}\right)-9x+\left(1+\frac{\sqrt{5}}{3}\right)+y-7=0

\left(13+3\sqrt{5}\right)x-\left(5+\frac{4}{3}\sqrt{5}\right)y+\left(10+\frac{8}{3}\sqrt{5}\right)=0

Dan kedua yang melalui titik \left(\frac{4}{9}-\frac{\sqrt{5}}{3},1-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) adalah

-9\left(\frac{4}{9}-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)x+4\left(1-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)y-9\left(\frac{4}{9}-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)-9x+\left(1-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)+y-7=0

\left(13-3\sqrt{5}\right)x+\left(5-\frac{4}{3}\sqrt{5}\right)y-\left(10-\frac{8}{3}\sqrt{5}\right)=0

 

}
%d blogger menyukai ini: