garis singgung parabola pada kemiringan m - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

garis singgung parabola pada kemiringan m

Seperti halnya pada lingkaran dan ellips, terdapat dua macam garis singgung yang akan dibicarakan, yaitu garis singgung yang melalui salah satu titik pada parabola dan garis singgung yang mempunyai kemiringan tertentu. Untuk pembahasan kali ini kita hanya akan membahas tentang Persamaan Garis singgung parabola yang mempunyai kemiringan tertentu.

Persamaan Garis Singgung yang mempunyai kemiringan m.

Pada parabola yang membuka ke kiri/kanan

Also Read:

Sekarang dibahas garis singgung suatu parabola yang mempunyai kemiringan tertentu.

Misalkan kita akan mencari persamaan garis singgung parabola y2 = 4px yang mempunyai kemiringan m seperti pada gambar di bawah .G1

Karena kemiringan garis singgung l sudah diketahui maka dimisalkan mempunyai persamaan garis yaitu keluarga garis dengan kemiringan m;

l≡ y = mx + b,

dengan b konstanta yang belum diketahui.

Jika persamaan garis itu disubstitusikan ke persamaan parabola akan diperoleh hubungan

(mx + b)2 = 4px

⇔m2x2 + (2mb – 4p)x + b2 = 0…………… (1)

Oleh karena garis menyinggung parabola maka haruslah memotong pada satu titik saja, dengan kata lain persamaan kuadrat di atas haruslah mempunyai penyelesaian yang kembar. Hal itu berarti nilai diskriminannya haruslah nol.

Kondisi ini diberikan oleh persamaan :

(2mb – 4p)2 – 4m2b2 = 0

Persamaan di atas akan memberikan penyelesaian untuk b

b=\frac{p}{m}\textrm{ , }m\neq0

Jadi persamaan garis singgung parabola y2 = 4px yang mempunyai kemiringan m adalah

l\equiv y=mx+\frac{p}{m}…………….. (2)

Persamaan garis singgung parabola (yk)2 = 4p(xh) yang berpuncak di titik (h, k) dan sumbu parabola sejajar dengan sumbu-x, jika garis mempunyai kemiringan m, dapat diperoleh dengan mentranslasikan persamaan (2) sedemikian hingga titik asal berpindah ke titik (h, k). Dengan translasi ini diperoleh persamaan garis:

y-k=m\left(x-h\right)+\frac{p}{m}…………….. (3)

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 + 6y – 8x + 25 = 0 yang tegak lurus garis 2x + y – 3 = 0.

Jawab:

Kita tulis kembali persamaan parabola

y2 + 6y = – 8x + 25

Dengan melengkapkan kuadrat persamaan parabola pada suku yang memuat y pada ruas kiri diperoleh bentuk :

(y + 3)2 = 8x – 16

⇒(y + 3)2 = 42(x – 2)

Persamaan terakhir adalah bentuk baku dari persamaan parabola dengan puncak (2, –3) dan c = 2, yaitu h = 2, dan k = –3.

Misalkan m adalah kemiringan garis singgung yang dicari. Garis 2x + y – 3 = 0 mempunyai kemiringan –2, sedangkan garis singgung yang diminta tegak lurus dengan di atas, yang berarti perkalian antar kemiringan garis sama dengan –1. Jadi

m.(–2) = –1 \Leftrightarrow m = ½.

Dengan persamaan (3) di atas maka persamaan garis singgung yang dicari adalah :

 y+3=\frac{1}{2}\left(x-2\right)+\frac{2}{\frac{1}{2}}

\Leftrightarrow x-2y=0

Jadi persamaan garis singgung yang dicari adalah

x – 2y = 0

Pada parabola yang membuka ke atas/bawah

Perhatikan bahwa persamaan garis singgung seperti tertuang baik dalam persamaan (2) maupun (3) di atas hanya berlaku pada parabola yang sumbu simetrinya berimpit atau sejajar sumbu-x. Jika sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-y, atau membuka ke atas/bawah maka rumus tersebut tidak berlaku.

Persamaan baku parabola yang berpuncak di titik asal dan sumbu simetrinya berimpit dengan sumbu-y adalah x2 = 4py. Misalkan persamaan garis singgung parabola itu mempunyai kemiringan m, dan kita misalkan berbentuk

l ≡  y = mx + b

dengan b konstanta yang belum diketahui.

Jika y disubstitusikan pada parabola diperoleh

x2 = 4p(mx + b)

x2 – 4pmx – 4pb = 0 ……………….(4)

Dengan penjelasan yang sama dalam menurunkan rumus (3) maka l menyinggung parabola maka diskriminan persamaan kuadrat (4) haruslah nol. Hal itu diberikan oleh persamaan

(4pm)2 – 4(–4pb) = 0

yang memberikan penyelesaian untuk b yaitu :

b = –pm2

Jadi persamaan garis singgung yang dicari adalah

y = mxpm2 ………………….(5)

Demikian pula untuk memperoleh persamaan garis singgung parabola yang lebih umum (xh)2 = 4p(yk) yang berpuncak di titik (h, k) dan sumbu parabola sejajar dengan sumbu-y, jika garis mempunyai kemiringan m, dapat diperoleh dengan mentranslasikan persamaan (5) sedemikian hingga titik asal berpindah ke titik (h, k). Dengan translasi ini diperoleh persamaan garis:

yk = m(xh) – pm2 ………………….(6)

Contoh 2:

Tentukan titik potong garis singgung parabola x2 – 4x – 4y – 8 = 0 yang mempunyai kemiringan 3 dengan sumbu-sumbu koordinat.

Jawab:

Pertama dicari persamaan garis singgungnya, kemudian ditentukan titik potong garis tersebut dengan sumbu-sumbu koordinat.

Tulis kembali persamaan parabola dalam bentuk :

x2 – 4x = 4y + 8

Dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada ruas kiri persamaan parabola dapat ditulis ke dalam bentuk baku

(x – 2)2 = 4y + 12

(x – 2)2 = 4(y + 3)

Persamaan terakhir adalah bentuk baku dari persamaan parabola dengan puncak (2, –3) dan diperoleh h = 2, k = –3. Dan juga 4c = 4 atau c = 1.

Garis singgung yang dicari mempunyai kemiringan m = 3.

Dengan menggunakan persamaan (6) maka persamaan garis singgung yang dicari adalah :

y + 3 = 3(x – 2) – 132

y + 3 = 3x – 6 – 9

3xy – 18 = 0

Jadi persamaan garis singgung yang dicari adalah

3xy – 18 = 0

Dengan demikian titik potong dengan sumbu-x dapat ditentukan dengan memberi nilai y = 0 pada garis singgung sehingga diperoleh x = 6. Jadi memotong sumbu-x di titik (6, 0).

Hal yang sama dapat dilakukan untuk memperoleh titik potong dengan sumbu-y dengan memberi nilai x = 0, sehingga diperoleh y = 18. Jadi memotong sumbu-y di titik (0, 18).

jika teman – teman lupa dengan persamaan parabola bisa dibuka di artikel saya yang lalu tentang persamaan parabola.

}
%d blogger menyukai ini: