Fungsi Kuadrat dan penentuan nilai maksimum minimum

Fungsi Kuadrat

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan  disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Also Read:

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.

Contoh # 1:

Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7

Ditanyakan:

  • nilai pembuat nol fungsi f
  • nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

  • Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x2 – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7  atau  x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

  • Untuk  x = 0   maka f(0) = –7

x = –2  maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9

Contoh #2:

Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Jawab :

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0

p2 – 2p – 35 = 0

(p – 7) (p + 5) = 0

p = 7   atau   p = –5

Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

    • f(x) = x2 – 2x – 3

= x2 – 2x + 1 – 4

=(x – 1)2 – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

    • f(x) = –x2 + 4x + 5

= –x2 + 4x – 4 + 9

= –(x2 – 4x + 4) + 9

= –(x – 2)2 + 9

Nilai terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f(x) = –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax2 + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk a elemen Real

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk a elemen Real

Contoh # 3 :

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7

Jawab:

f(x) = 2x2 + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

f(x) = 2 (x + 1 )2 – 2 + 7

f ( x) = 2 ( x + 1 )2 + 5

Nilai minimum fungsi f = 5

demikianlah artikel singkat ini, semoga bisa membantu.

Komentar Pembaca

>