Deskripsi Matematis Gelombang Mekanik

Banyak karakteristik gelombang periodik yang dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep laju gelombang, periode gelombang, dan panjang gelombang. Akan tetapi, seringkali kita memerlukan deskripsi yang lebih rinci mengenai posisi dan gerak partikel yang bergetar. Untuk maksud ini kita dapat menggunakan konsep fungsi gelombang, yaitu suatu fungsi yang menjelaskan posisi partikel yang bergetar pada sembarang waktu.

Kita akan meninjau gelombang pada dawai yang diregangkan. Pada posisi setimbang, dawai membentuk garis lurus. Kita menganggap bahwa garis lurus ini merupakan sumbu-x dalam sistem koordinat kartesius. Getaran dawai membentuk gelombang transversal sehingga selama geraknya seluruh partikel dengan posisi setimbang sepanjang sumbu-x digeser sejauh y yang arahnya tegak lurus sumbu-x ini. Nilai y bergantung pada posisi partikel yang ditinjau dan juga bergantung pada waktu. Secara matematis, y merupakan fungsi dari x dan t atau sering ditulis y = y (x,t) ungkapan y(x,t) disebut sebagai fungsi gelombang. Jika fungsi gelombang diketahui, kita dapat menentukan pergeseran partikel yang bergetar (diukur dari posisi setimbang) pada sembarang waktu.

Sekarang kita akan membicarakan bentuk fungsi gelombang untuk gelombang sinusoidal, yaitu gelombang sinusoidal yang berjalan dari kiri ke kanan sepanjang dawai. Diandaikan pergeseran partikel di ujung kiri dawai () dinyatakan dengan persamaan

Also Read:

y(0,t)=A\sin \omega t=A\sin 2\pi ft=A\sin \frac{2\pi}{T}t ………(i)

Artinya, partikel itu bergerak harmonik sederhana dengan amplitudo A, frekuensi f, dan frukuensi sudut \omega=2\pi ft. Pada t = 0 partikel di memiliki pergeseran nol ( y = 0 ) dan partikel sedang bergerak ke arah sumbu-y positif. Gelombang ini merambat dari x = 0 ke titik x di sebelah kanan titik asal dalam waktu x/v dengan v laju gelombang. Jadi, gerakan di titik x pada waktu t sama seperti gerakan di titik x =0 pada waktu sebelumnya, yaitu t=\frac{x}{v} . Dengan demikian, kita dapat menghitung pergeseran di titik x pada waktu t hanya dengan mengganti t pada Persamaan (i) dengan t-\frac{x}{v} Jadi,

y(x,t)=A\sin \omega (t-\frac{x}{v})=A\sin 2\pi f(t-\frac{x}{v}) ……….(ii)

Kita dapat menuliskan fungsi gelombang Persamaan (ii) menjadi beberapa bentuk yang berbeda. Dengan mengingat f=\frac{1}{T} dan \lambda=\frac{v}{f}=vT Persamaan (ii) menjadi

y(x,t)=A\sin 2\pi (\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}) …………(iii)

 

Bilangan gelombang, dengan simbol k, didefinisikan sebagai

k=\frac{2\pi}{\lambda} ………..(iv)

Dengan substitusi dan ke Persamaan gelombang, diperoleh

\omega=vk ………(v)

 

Dengan demikian, Persamaan (iii) menjadi

y(x,t)=A\sin (\omega t-kx) …….(vi)

Kita dapat memodifikasi Persamaan (ii) sampai dengan Persamaan (vi) untuk menjelaskan gelombang yang merambat ke arah sumbu-x negatif. Dalam kasus ini, pergeseran di titik x pada saat t adalah sama seperti gerak di titik x = 0 pada waktu sesudahnya, yaitu t+\frac{x}{v}. Dengan demikian, kita dapat mengganti t pada Persamaan (ii) dengan (t+\frac{x}{v}). jadi, untuk gelombang yang merambat ke arah sumbu-x negatif berlaku

y(x,t)=A\sin 2\pi f(t+\frac{x}{v})=A\sin 2\pi(\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda})=A\sin (\omega t+kx) ……..(vii)

Also Read : Gelombang Periodik

Secara umum, fungsi gelombang dapat dituliskan sebagai y(x,t)=A\sin (\omega t\pm kx). Tanda positif menunjukkan gelombang merambat ke arah sumbu-x negatif, sedangkan tanda negatif menunjukkan gelombang merambat ke arah sumbu-x positif. Besaran (\omega t\pm kx) dinamakan sudut fase, dengan satuan derajat atau radian. Titik-titik yang pergeserannya maksimum, yaitu y = A terjadi ketika \sin (\omega t \pm kx)=1 Sudut fase pada saat pergeseran maksimum adalah \frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2} dan seterusnya. Titik-titik yang pergeserannya minimum, yaitu terjadi ketika sudut fasenya adalah 0, \pi,2\pi, dan seterusnya. Dua titik A dan B dikatakan memiliki fase sama apabila kedua titik ini memiliki beda sudut fase sebesar 2\pi atau 2n\pi, dengan n bilangan bulat. Apabila dua titik memiliki fase yang sama, maka kedua titik tersebut bergerak dalam arah yang sama.

Contoh Soal 1.2

Widya bermain dengan tali plastik yang biasa digunakan untuk menjemur pakaian. Ia melepaskan salah satu ujung tali dan memegangnya sehingga tali membentuk garis lurus mendatar. Selanjutnya, ia menggerakkannya ke atas dan ke bawah secara sinusoidal dengan frekuensi 2 Hz dan amplitudo 0,5 m. Laju gelombang pada tali adalah m/s. Ketika ujung tali memiliki pergeseran nol dan bergerak ke arah sumbu-y positif. (a) Hitunglah amplitudo, frekuensi sudut, periode, panjang gelombang, dan bilangan gelombang dari gelombang yang terbentuk pada tali. (b) Tulislah fungsi gelombangnya. (c) Tulislah fungsi gelombang dari sebuah titik yang terletak pada tali yang dipegang Widya. (d) Tulislah fungsi gelombang dari sebuah titik yang berjarak 3 m dari ujung tali yang dipegang Widya.

Penyelesaian

  • Amplitudo gelombang sama dengan amplitudo gerakan tali. Jadi, amplitudo

Frekuensi sudut \omega =2\pi f=(2\pi rad)(2\text { hz}=4\pi\text{ rad/s}

Periode T=\frac{1}{f}=\frac{1}{2}=0,5\text{ sekon }

Panjang gelombang dapat dihitung dengan Persamaan awal gelombang:

\lambda=\frac{v}{f}=\frac{12}{2}=6\text{ m}

Bilangan gelombang k dapat dihitung dengan Persamaan (iv) atau Persamaan (v). Diperoleh,

k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\text{ rad/m atau }k=\frac{\omega}{v}=\frac{4\pi}{12}\text{ rad/m }

  • Diandaikan ujung tali yang dipegang Widya adalah dan gelombang merambat sepanjang tali ke arah sumbu-x positif. Oleh karena itu, fungsi gelombangnya dapat dinyatakan dengan Persamaan (iii):

y(x,t)=A\sin 2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})=(0,5)\sin (2\pi)(\frac{t}{0,5}-\frac{x}{6}=0,5\sin[(4\pi)t-(\frac{\pi}{3})]

Hasil ini dapat juga diperoleh dengan menggunakan Persamaan (vi), dengan \omega =4\pi\text{ rad/s dan }k=\frac{\pi}{3}

 

  • Fungsi gelombang dari sebuah titik yang terletak pada tali yang dipegang Widya, artinya x = 0, dapat diperoleh dengan substitusi x = 0 ke dalam jawaban (b). Diperoleh,

y(x,t)=(0,5)\sin [(4\pi)t-(\frac{\pi}{3})(0)]=(0,5)\sin \pi t

  • Fungsi gelombang dari sebuah titik yang berjarak 3 m dari ujung tali yang dipegang Widya dapat diperoleh dengan substitusi x = 3 m ke dalam jawaban (b). Diperoleh,

y(x,t)=(0,5)\sin [4\pi t-(\frac{\pi}{3})(3)=(0,5)\sin [(4\pi)t-\pi]

Deskripsi Matematis Gelombang Mekanik | Made Astawan | 4.5