Contoh soal Pembagian ruas garis Vektor tiga dimensi

Misalkan titik $latex A(x_1,y_1,z_1)$, titik $latex B(x_2,y_2.z_2)$, dan titik C(x, y, z). dengan mengacu pada gambar di bawah ini maka akan diperoleh:

Vektor posisi titik A adalah

Also Read:

$latex \vec{a}=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}$

Vektor posisi titik B adalah

$latex \vec{b}=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}$

Vektor posisi titik C adalah

$latex \vec{c}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

Titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n, berdasarkan rumus perbandingan vektor, maka vektor posisi titik C ditentukan oleh :

$latex \frac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n}$

Dari persamaan ini kemudian bisa kita uraikan menjadi:

$latex x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}$

$latex y=\frac{my_2+ny_1}{m+n}$

$latex z=\frac{mz_2+nz_1}{m+n}$

Contoh 1#:

Diketahui ruas garis PQ dengan koordinat titik P(2,3, -1) dan koordinat titik Q(7,-2,9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. Tentukanlah koordinat titik R.

Jawab:

Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4 atau PR : RQ = 1 : 4.

Misalkan koordinat titik R (x , y, z), maka berdasarkan rumus perbandingan koordinat titik – titik di ruang dengan m = 1 dan n = 4, diperoleh:

$latex x=\frac{1(7)+4(2)}{1+4}=3$

$latex y=\frac{1(-2)+4(3)}{1+4}=2$

$latex z=\frac{1(9)+4(-1)}{1+4}=1$

Jadi, koordinat titik R adalah (3, 2, 1).

Contoh 2#:

Titik R(9,2,4) membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 3 : 7. Jika koordinat titik P(6, 8,1). Tentukan koordinat titik Q.

Jawab:

Menjawab soal ruas garis seperti ini yang memerlukan pemikiran yang sedikit berlebih. Karena biasanya yang ditanyakan adalah koordinat yang membagi garis. Ini yang ditanyakan adalah salah satu titik dari garis yang dibagi.

Hal pertama yang kita lakukan adalah tetap kita analisis nilai m dan n dari perbandingan ruas garis tersebut. Dalam soal disebutkan bahwa titik R membagi ruas garis PQ itu artinya PR : RQ = 3 : 7. Itu berarti nilai m = 3 dan nilai n = 7.

Misalkan koordinat titik Q (x,y,z), maka :

$latex 9=\frac{3x+7(6)}{3+7}$

90 = 3x + 42

3x = 90 – 42 = 48

$latex x=\frac{48}{3}=16$

$latex 2=\frac{3y+7(8)}{3+7}$

20 = 3y + 56

3y = 20 – 56 = -36

$latex y=\frac{-36}{3}=-12$

$latex 4=\frac{3z+7(1}{3+7}$

40 = 3z + 7

3z = 40 – 7 = 33

$latex z=\frac{33}{3}=11$

Jadi, koordinat titik Q adalah (16, -12, 11).

 

Contoh soal Pembagian ruas garis Vektor tiga dimensi | Made Astawan | 4.5