Contoh soal dan pembahasan tentang pembagian ruas garis dalam vektor dua dimensi

Perhatikan soal di bawah!

Diketahui ruas garis AB dengan koordinat titik A(3,-1) dan koordinat B(6,5). Tentukan koordinat titik C jika AC : CB = 2 : 1.

Soal seperti ini merupakan soal tentang pembagian ruas garis dalam vektor dua dimensi. Dikatakan dua dimensi karena koordinatnya hanya sampai pada x dan y atau (x,y). dua dimensi sama dengan koordinat dalam bidang. Untuk menyelesaikan soal seperti ini kita ingat rumus menentukan koordinat pada pembagian ruas garis.

\vec{c}=\frac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n}

Dari rumus ini, kemudian bisa kita pecah untuk menentukan nilai masing-masing x dan y. sehingga:

x=\frac{m.x_2+n.x_1}{m+n}

y=\frac{m.y_2+n.y_1}{m+n}

Sekarang yang menjadi permasalahan adalah bagaimana kita menentukan mana m dan mana n dalam perbandingan soal. Kita perhatikan AC : CB = 2 : 1, ini berarti m = 2 dan n = 1. Koordinat titik A (3, -1) dan b (6,5) ini berarti

x_1=3\text{ dan }y_1=-1

x_2=6\text{ dan }y_2=5

Dengan demikian semua besaran ini kita masukkan ke dalam rumus diatas, sehingga:

x=\frac{m.x_2+n.x_1}{m+n}=\frac{2.(6)+1.(3)}{2+1}=\frac{15}{3}=5

y=\frac{m.y_2+n.y_1}{m+n}=\frac{2.(5)+1.(-1)}{2+1}=\frac{9}{3}=3

Jadi, koordinat titik C adalah C(5,3).

Soal 1 #:

Diketahui titik A(2,-2) dan titik B(-4,1). Tentukan koordinat titik Q, jika AQ : QB = -3 : 5.

Jawab:

Pertama kita terlebih dahulu tentukan nilai m dan n. AQ : QB = -3 : 5 berarti nilai m = -3 dan n = 5. Sedangkan dari koordinat A(2,-2) dan B(-4,1) kita juga dapatkan:

x_1=2\text{ dan }y_1=-2

x_2=-4\text{ dan }y_2=1

Dan koordinat Q dapat kita tentukan sebagai berikut ;

x=\frac{m.x_2+n.x_1}{m+n}=\frac{-3.(-4)+5.(2)}{-3+5}=\frac{22}{2}=11

y=\frac{m.y_2+n.y_1}{m+n}=\frac{-3.(1)+5.(-2)}{-3+5}=\frac{-13}{2}

Jadi koordinat titik Q adalah Q(11,\frac{-13}{2}

Soal 2#:

Ruas garis AB dengan koordinat titik A(-2,-1) dan koordinat titik B(3,3). Titik C terletak pada perpanjangan ruas garis AB, sehingga BC = 3AB. Tentukan koordinat dari titik C.

Jawab :

BC = 3 AB

Ini berarti AB : BC = 1 : 3. Apakah ini langsung kita sebut nilai m dan n?. belum. Itu belum bisa kita sebut nilai m dan n. patokan kita adalah titik C, titik itu merupakan perpanjangan garis AB.jika kita gambarkan dalam garis akan terlihat seperti berikut:

AB : BC = 1 : 3

AC : CB = 4 : -3

Mungkin teman-teman bingung, mengapa perbandingannya menjadi AC : CB = 4 : 3?. Acuannya adalah titik C. karena acuannya titik C maka dua titik yang lain kita upayakan tersambung dengan titik C. sehingga yang kita bandingkan untuk mendapatkan nilai m dan n adalah AC dan CB.

Sekarang masalah nilai. Perbandingan AC menjadi 4, mengapa?. Karena pembanding AB adalah 1 dan pembanding BC adalah 3. Sehingga kalau kita cari pembanding AC akan menjadi 1 + 3 = 4.

CB memiliki perbandingan -3, alasannya adalah ruas garis BC atau CB adalah 3. Karena acuannya untuk mencari nilai n adalah CB maka arah vektornya berbalik arah. Berbalik arah meyebabkan besarannya juga berbalik. Yang semula nilainya positif menjadi negatif. Sehingga perbandingan AC : CB = 4 : -3. Inilah nilai m dan n. dengan kata lain m = 4 dan n = -3.

Selanjutnya kita akan menentukan koordinat dari C, sehingga :

x=\frac{m.x_2+n.x_1}{m+n}=\frac{4.(3)+-3.(-2)}{4+-3}=\frac{6}{1}=6

y=\frac{m.y_2+n.y_1}{m+n}=\frac{4.(3)+-3.(-1)}{4+-3}=\frac{15}{1}=15

Jadi, koordinat titik C adalah (6, 15).

 

Silahkan tuliskan Komentar teman - teman disini.