Contoh soal dan pembahasan tentang pembagian ruas garis dalam vektor dua dimensi

Contoh soal dan pembahasan tentang pembagian ruas garis dalam vektor dua dimensi

Perhatikan soal di bawah!

Diketahui ruas garis AB dengan koordinat titik A(3,-1) dan koordinat B(6,5). Tentukan koordinat titik C jika AC : CB = 2 : 1.

Also Read:

Soal seperti ini merupakan soal tentang pembagian ruas garis dalam vektor dua dimensi. Dikatakan dua dimensi karena koordinatnya hanya sampai pada x dan y atau (x,y). dua dimensi sama dengan koordinat dalam bidang. Untuk menyelesaikan soal seperti ini kita ingat rumus menentukan koordinat pada pembagian ruas garis.

$latex \vec{c}=\frac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n}$

Dari rumus ini, kemudian bisa kita pecah untuk menentukan nilai masing-masing x dan y. sehingga:

$latex x=\frac{m.x_2+n.x_1}{m+n}$

$latex y=\frac{m.y_2+n.y_1}{m+n}$

Sekarang yang menjadi permasalahan adalah bagaimana kita menentukan mana m dan mana n dalam perbandingan soal. Kita perhatikan AC : CB = 2 : 1, ini berarti m = 2 dan n = 1. Koordinat titik A (3, -1) dan b (6,5) ini berarti

$latex x_1=3\text{ dan }y_1=-1$

$latex x_2=6\text{ dan }y_2=5$

Dengan demikian semua besaran ini kita masukkan ke dalam rumus diatas, sehingga:

$latex x=\frac{m.x_2+n.x_1}{m+n}=\frac{2.(6)+1.(3)}{2+1}=\frac{15}{3}=5$

$latex y=\frac{m.y_2+n.y_1}{m+n}=\frac{2.(5)+1.(-1)}{2+1}=\frac{9}{3}=3$

Jadi, koordinat titik C adalah C(5,3).

Soal 1 #:

Diketahui titik A(2,-2) dan titik B(-4,1). Tentukan koordinat titik Q, jika AQ : QB = -3 : 5.

Jawab:

Pertama kita terlebih dahulu tentukan nilai m dan n. AQ : QB = -3 : 5 berarti nilai m = -3 dan n = 5. Sedangkan dari koordinat A(2,-2) dan B(-4,1) kita juga dapatkan:

$latex x_1=2\text{ dan }y_1=-2$

$latex x_2=-4\text{ dan }y_2=1$

Dan koordinat Q dapat kita tentukan sebagai berikut ;

$latex x=\frac{m.x_2+n.x_1}{m+n}=\frac{-3.(-4)+5.(2)}{-3+5}=\frac{22}{2}=11$

$latex y=\frac{m.y_2+n.y_1}{m+n}=\frac{-3.(1)+5.(-2)}{-3+5}=\frac{-13}{2}$

Jadi koordinat titik Q adalah $latex Q(11,\frac{-13}{2}$

Soal 2#:

Ruas garis AB dengan koordinat titik A(-2,-1) dan koordinat titik B(3,3). Titik C terletak pada perpanjangan ruas garis AB, sehingga BC = 3AB. Tentukan koordinat dari titik C.

Jawab :

BC = 3 AB

Ini berarti AB : BC = 1 : 3. Apakah ini langsung kita sebut nilai m dan n?. belum. Itu belum bisa kita sebut nilai m dan n. patokan kita adalah titik C, titik itu merupakan perpanjangan garis AB.jika kita gambarkan dalam garis akan terlihat seperti berikut:

AB : BC = 1 : 3

AC : CB = 4 : -3

Mungkin teman-teman bingung, mengapa perbandingannya menjadi AC : CB = 4 : 3?. Acuannya adalah titik C. karena acuannya titik C maka dua titik yang lain kita upayakan tersambung dengan titik C. sehingga yang kita bandingkan untuk mendapatkan nilai m dan n adalah AC dan CB.

Sekarang masalah nilai. Perbandingan AC menjadi 4, mengapa?. Karena pembanding AB adalah 1 dan pembanding BC adalah 3. Sehingga kalau kita cari pembanding AC akan menjadi 1 + 3 = 4.

CB memiliki perbandingan -3, alasannya adalah ruas garis BC atau CB adalah 3. Karena acuannya untuk mencari nilai n adalah CB maka arah vektornya berbalik arah. Berbalik arah meyebabkan besarannya juga berbalik. Yang semula nilainya positif menjadi negatif. Sehingga perbandingan AC : CB = 4 : -3. Inilah nilai m dan n. dengan kata lain m = 4 dan n = -3.

Selanjutnya kita akan menentukan koordinat dari C, sehingga :

$latex x=\frac{m.x_2+n.x_1}{m+n}=\frac{4.(3)+-3.(-2)}{4+-3}=\frac{6}{1}=6$

$latex y=\frac{m.y_2+n.y_1}{m+n}=\frac{4.(3)+-3.(-1)}{4+-3}=\frac{15}{1}=15$

Jadi, koordinat titik C adalah (6, 15).

 

Contoh soal dan pembahasan tentang pembagian ruas garis dalam vektor dua dimensi | Made Astawan | 4.5