cara menyelesaikan limit tak hingga bentuk akar

Cara menyelesaikan limit tak hingga bentuk akar

Pada artikel kali ini, kita akan membahas cara menyelesaikan limit tak hingga pada bentuk akar yang di dalam akarnya berbentuk persamaan kuadrat. Misalnya, bentuk limit :

\lim_{x\to\sim }\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}

Also Read:

Idealnya bentuk limit diatas bisa kita selesaikan dengan mengalikan dengan bentuk sekawannya. Tetapi hal ini akan membutuhkan langkah pengerjaan yang panjang waktu yang lumayan lama. Disini saya akan berbagi tips bagaimanakah cara menyelesaikan bentuk limit seperti di atas ( bentuk akar yang di dalam akarnya berbentuk persamaan kuadrat).

Caranya adalah kita hanya melihat nilai a dan p pada kedua bentuk akar di atas. Jika

  • a > p, maka nilai limit tersebut adalah tak hingga atau dilambangkan dengan \infty
  • a = p, maka nilai limit tersebut adalah sebesar

\frac{b-a}{2\sqrt{a}}

  • a < p, maka nilai limit tersebut adalah sebesar negatif tak hingga. Atau dilambangkan dengan -\infty

biar lebih jelas, kita langsung saja coba soal-soal yang saya ambil dari soal-soal masuk perguruan tinggi.

Soal 1# :

Tentukan Nilai dari

lim_{x\to\sim}(3x-2)-\sqrt{9x^2-2x+5}

Jawab :

Hal pertama yang kita lakukan adalah kita ubah bentuk (3x – 2) diatas menjadi bentuk akar, sehingga menjadi:

lim_{x\to\sim}(3x-2)-\sqrt{9x^2-2x+5}

lim_{x\to\sim}\sqrt{(3x-2)^2}-\sqrt{9x^2-2x+5}

lim_{x\to\sim}\sqrt{9x^2-12x+4}-\sqrt{9x^2-2x+5}

Sekarang terlihat bahwa bentuk limit diatas sudah bersesuaian dengan dengan bentuk limit

\lim_{x\to\sim }\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}

Dan didapatkan nilai a = 9, b = -12, c = 4. sedangkan p = 9, q = -2, dan r = 5

Dari sini terlihat bahwa a = p. dan nilai limitnya dicari dengan menggunakan rumus cepat :

\frac{b-q}{2\sqrt{a}}=\frac{-12-(-2)}{2\sqrt{9}}=\frac{-10}{2.3}=\frac{-5}{3}

Jadi, nilai limit diatas adalah -\frac{5}{3}

berikut videonya bisa ditonton

Soal 2#:

Tentukanlah nilai dari

lim_{x\to\sim}\sqrt{x^2-5x}-x-2

Jawab :

Sama seperti cara diatas, kita nyatakan dulu kedua bentuk ke dalam bentuk akar, sehingga :

lim_{x\to\sim}\sqrt{x^2-5x}-x-2

lim_{x\to\sim}\sqrt{x^2-5x}-(x+2)

lim_{x\to\sim}\sqrt{x^2-5x}-\sqrt{(x+2)^2}

lim_{x\to\sim}\sqrt{x^2-5x}-\sqrt{x^2+4x+4}

Kemudian dari bentuk ini kita mendapatkan nilai a = 1, b = -5, c = 0 sedangkan p = 1, q = 4, dan r = 4.

Karena a = p, maka nilai limit tersebut ditentukan dengan rumus:

\frac{b-q}{2\sqrt{a}}=\frac{-5-4}{2\sqrt{1}}=-\frac{9}{2}

Jadi, nilai limit tersebut adalah sebesar -\frac{9}{2}.

Soal 3#:

Tentukanlah nilai dari :

lim_{x\to\sim}(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x

Jawab:

Pertama kita terlebih dulu kalikan faktor yang ada di dalam akar, dan bentuk x disebelahnya kita nyatakan ke dalam bentuk akar.

lim_{x\to\sim}(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x

lim_{x\to\sim}(\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}-\sqrt{x^2}

Berarti a = 1, b = a + b, c = ab, sedangkan p = 1, q = 0, dan r = 0

Karena a = p , maka penyelesaiannya menjadi

\frac{b-q}{2\sqrt{a}}=\frac{a+b}{2\sqrt{1}}=\frac{a+b}{2}

Jadi, penyelesaian dari limit di atas adalah \frac{a+b}{2}

demikian pembahasan tentang bagaimana menyelesaikan soal limit tak hingga yang berbentuk akar yang di dalamnya berbentuk persamaan kuadrat. Semoga bermanfaat.

cara menyelesaikan limit tak hingga bentuk akar | Made Astawan | 4.5