Cara Menghitung Rata – rata Geometri

Rata–rata Geometrik

Dalam banyak hal, nilai rata- rata sering kali memerlukan data berkala (time series) untuk mengetahui kecenderungan misalkan indeks ekonomi, tingkat pendapatan nasional, tingkat produksi, rata –rata penjualan tiap tahun dan lain – laian. Berapa besar rata – rata persentase tingkat perubahan per tahun?. Yang ditanyakan dalam hal ini adalah nilai konstanta yang dapat menjelaskan tingkat perubahan per tahunnya. Nilai konstanta ini dapat dicari dengan menggunakan rata – rata geometric.

Rata – rata geometric bagi nilai n bilangan positif $latex X_1,X_2,…X_n$ adalah akar pangkat n dari hasil kali semua bilangan itu. Jadi,

Also Read:

$latex \text{G}=\sqrt[n]{X_1.X_2….X_n}$

G merupakan rata – rata geometric dari $latex X_1,X_2,X_3,…X_n$. Nilai dari $latex X_1,X_2,X_3,…X_n$ menunjukkan rata-rata relative. Selanjutnya gunakan logaritma pada masing – masing ruas, sehingga :

$latex \text{log G}=\frac{1}{\text{n}}\left ( \sum_{i=1}^{n}\text{log X}_i \right )$

Rata – rata geometric G diselesaikan dengan mengambil antilogaritmanya :

$latex \text{G}=\text{antilog }\frac{1}{\text{n}}\left ( \sum_{i=1}^{n}\text{log X}_i \right )$

Perharikan bahwa logaritma rata – rata geometric untuk n buah bilangan positif sama dengan rata – rata hitung logaritma masing – masing bilangan.

Rata – rata geometric dapat digunakan untuk menentukan rasio laju kenaikan produksi, pertumbuhan penduduk, perkembangan bakteri dalam bejana, perubahan tingkat suku bunga dan lain – lain. Oleh karena itu hubungan tingkat bunga majemuk dengan rata – rata geometrik dapat dijelaskan sebagai berikut.

Misalkan $latex P_o$ merupakan jumlah uang mula – mula dan $latex P_n$ adalah jumlah uang setelah tahun ke – n. Uang tersebut dibunga majemukkan dengan tingkat suku bunga r% per tahun selama n tahun, sehingga

$latex P_n=P_o(1+r)^n$

Akan tetapi bila tingkat suku bunga berubah – ubah dari waktu ke waktu yaitu $latex r_1,r_2,…r_n$, maka rumus yang digunakan adalah :

$latex P_o(1+r)^n=P_o(1+r_1).(1+r_2)…(1+r_n)$

Masing – masing ruas dibagi dengan $latex P_o$ sehingga :

$latex (1+r)=\sqrt[n]{(1+r_1).(1+r_2)…(1+r_n)}$

Artinya (1 + r) adalah rata – rata ukur dari $latex (1+r_1).(1+r_2)…(1+r_n)$. Nilai $latex (1+r_1).(1+r_2)…(1+r_n)$ menunjukkan rata – rata relative dari angka r adalah rata – rata persentase tingkat perubahan per tahun dalam data berkala.

Contoh 1 #:

Pada tanggal 1 januari seseorang menabung di bank sebesar Rp 10 juta dengan tingkat suku bunga 2% per bulan. Bila selama tahun itu tabungan tidak diambil, hitunglah jumlah rata – rata uang yang ada di Bank selama 5 bulan.

Penyelesaian :

$latex \text{G}=P_o\sqrt[5]{(1+0,02).(1+0,02).(1+0,02).(1+0,02).(1+0,02)}$

G = 10.200.000

Jadi, rata – rata tabungan selama 5 bulan adalah Rp 10.200.000

Contoh 2 # :

Selama 4 tahun berturut – turut seorang manajer telah menerima kenaikan gaji tahunan sebesar 4,5 ; 5,5; 6,5 ; dan 7,5%. Rasio gaji tahunan sedang berjalan dengan tahun sebelumnya adaalah 1,045 ; 1, 055; 1, 065 dan 1, 075. Hitunglah rata – rata geometric rasio kenaikan gaji dan hitung pula kenaikan persentase rata – rata selama empat periode.

Penyelesaian :

$latex r_1=0,045$

$latex r_2=0,055$

$latex r_3=0,065$

$latex r_4=0,075$

$latex \text{G}=(1+r)=\sqrt[4]{(1+0,045).(1+0,055).(1+0,065).(1+0,075)}$

$latex \text{log G}=\frac{1}{4}\left ( \text{log (1,045) + log (1,055) + log (1,065) + log (1,075)} \right )$

$latex \text{Log G}=\frac{1}{4}(0,0191+0,0233+0,0273+0,0314)=0,02528$

G = 1, 060

Jadi, rata – rata geometric rasio kenaikan gaji adalah G = 1, 060 dan kenaikan persentase rata – rata selama periode empat tahun adalah r = 6%.

Cara Menghitung Rata – rata Geometri | Made Astawan | 4.5